SCHEDA. Ma non sar meno umana, di Cristiana De Filippis.

L'autrice Cristiana De Filippis (EMS Prize 2024)  professoressa ordinaria di analisi matematica allUniversit di Parma.

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LIA pu aiutare a esplorare, pu suggerire e far emergere errori, esempi, analogie, strade laterali. Pu comprimere settimane di tentativi. Ma alla fine il lavoro matematico resta dove  sempre stato.

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Leggendo larticolo di Konstantin Kakaes, la domanda se lIA sia gi
creativa mi sembra meno interessante di quanto sembri.  naturale porsela, ma diventa rapidamente una disputa sulle parole. Nel lavoro matematico la questione pi concreta  unaltra: che cosa cambia
quando diventa molto pi facile generare esempi, provare formulazioni,
cercare analogie, chiedere varianti di un argomento?
Da questo punto di vista, larticolo racconta un cambiamento reale. Non
perch le macchine abbiano sostituito il giudizio matematico, ma perch modificano il costo del tentativo. In matematica molto tempo non si
consuma nella dimostrazione finale, quella che poi viene scritta in forma pulita. Si consuma prima: nel cercare esempi, nel ricordare risultati vicini, nel capire se una tecnica  davvero adatta al problema, nel formulare una congettura in un modo e poi scartarla.
Suona matematico, ma sar vero?
LIA interviene soprattutto l. Non al posto del pensiero, ma nella zona disordinata che precede una dimostrazione. Questo  anche il motivo per cui gli esempi dellarticolo mi sembrano significativi. Non hanno il tono spettacolare della grande soluzione prodotta da una macchina.
AlphaEvolve, per esempio, viene testato su molti problemi: in alcuni casi migliora risultati noti, in altri li eguaglia, in altri fallisce.  proprio questo che lo rende credibile. Non siamo davanti a una macchina che risolve la matematica. Siamo davanti a uno strumento che permette di esplorare pi rapidamente un territorio grande, e magari di capire dove vale la pena guardare.
La distinzione per  importante. Una dimostrazione non  una sequenza di frasi plausibili.  una struttura che deve reggere. Questo resta il
punto centrale, e non  negoziabile. Un modello linguistico pu produrre idee, suggerimenti, passaggi intermedi, analogie. Ma il fatto che qualcosa suoni matematico non significa che sia vero.
Chi fa ricerca lo sa bene: molte argomentazioni sbagliate hanno un
aspetto convincente fino al momento in cui si controlla il dettaglio giusto. Il caso di Ernest Ryu, nellarticolo,  istruttivo proprio per questo.
ChatGPT non gli ha semplicemente consegnato una dimostrazione. Ha
prodotto tentativi, spesso incompleti o sbagliati, dentro i quali lui ha riconosciuto parti utilizzabili. Poi le ha controllate, corrette, riformulate. La parte interessante non  la delega, ma il ciclo: proposta, verifica, errore, correzione, nuovo tentativo. Questo assomiglia pi a un dialogo con un collaboratore molto veloce, ma non affidabile, che a una consultazione di unenciclopedia. Per un ricercatore maturo, questo pu essere utile.
Chi conosce bene unarea sa riconoscere un passaggio sospetto, una
definizione usata in modo improprio, una prova che sembra valida ma
non lo . In quel caso il modello non viene trattato come un oracolo, ma come una macchina per generare possibilit. Il suo valore non sta nel fatto che ogni risposta sia buona. Sta nel fatto che produce rapidamente molte risposte, alcune delle quali possono far vedere un punto che prima non era emerso.
Per uno studente, invece, il rischio  diverso. Se lIA diventa un modo per evitare lesercizio, allora danneggia proprio la parte pi importante della formazione.
Imparare matematica non significa ottenere la risposta. Significa costruire il senso di perch una risposta  vera, dove una dimostrazione pu rompersi, quali ipotesi sono davvero usate. Nessuno diventa matematico guardando una macchina fare matematica al posto suo. Qui bisogna essere abbastanza netti: nella ricerca lIA pu accelerare; nella formazione pu anche indebolire.
Un altro aspetto importante  la capacit di attraversare linguaggi diversi. Ogni matematico, per quanto bravo, ha una cultura parziale. Conosce bene la propria area, un po le aree vicine, molto meno quelle lontane.
I modelli linguistici non capiscono quei territori come li capirebbe uno specialista, ma possono mettere in contatto pezzi di linguaggio matematico che normalmente resterebbero separati: geometria, combinatoria, ottimizzazione, probabilit, algebra, logica. Molte analogie saranno superficiali. Alcune per possono indicare una direzione. E in ricerca una direzione buona pu valere molto. Lesempio degli intervalli di Bruhat va letto in questo senso. Non mi sembra importante dire che il programma ha capito la struttura nascosta. Il punto  diverso: ha prodotto oggetti abbastanza insoliti da permettere ai matematici di vedere qualcosa che era rimasto fuori dai percorsi abituali.
Questo  un modo interessante di pensare allIA: non come sostituto del
matematico, ma come perturbazione del modo umano di cercare. Anche
lesempio raccontato da Ravi Vakil sembra andare in questa direzione. In una versione pi semplice del problema, il modello ha reso visibile una struttura dellargomento che poi gli esseri umani hanno potuto generalizzare. Qui la questione dellattribuzione diventa meno banale.
Se unidea nasce da un dialogo tra matematici e modello, a chi appartiene? La risposta istituzionale non  chiara. Probabilmente serviranno nuove abitudini su trasparenza, credito e responsabilit. Per il punto matematico  gi visibile: certe idee possono emergere pi facilmente in uninterazione che da una delle due parti isolata.
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La soglia di accesso.
C poi la questione della scala. Terry Tao osserva che strumenti di questo tipo potrebbero permettere di studiare migliaia di problemi insieme, invece di affrontarli uno alla volta. Questo cambia anche il modo di formulare le domande. Non solo: posso risolvere questo caso?. Ma anche: che comportamento vedo su una famiglia molto grande di casi?.
 una mentalit pi sperimentale, quasi statistica, applicata a oggetti teorici. Non sostituisce la dimostrazione, ma pu cambiare il modo in cui si arriva a una congettura o a una strategia di prova. La matematica ha gi avuto strumenti computazionali, esperimenti numerici, software simbolici, archivi, proof assistant.
La novit qui non  semplicemente che il computer calcola.  linterazione. Faccio una domanda, ottengo una direzione, la correggo, chiedo un esempio, provo a romperlo, modifico lipotesi. Il laboratorio non  solo la macchina.  il ciclo. E quel ciclo riduce il costo del fallimento.
Questo conta, perch spesso nella ricerca non mancano soltanto le idee
buone. Manca il tempo per attraversare abbastanza idee cattive da riconoscerle come cattive.
C poi un aspetto quasi politico: questi strumenti abbassano la soglia
di accesso alla ricerca. Non eliminano le disuguaglianze, perch laccesso ai modelli migliori, ai dati e alle infrastrutture resta un tema enorme.
Larticolo lo mostra chiaramente: alcuni sistemi potenti sono legati a
grandi aziende e non sono pubblicamente disponibili. Per, rispetto ad
altre tecnologie scientifiche la soglia dingresso di molti strumenti IA resta sorprendentemente bassa. Per il momento, buona parte dei matematici pu permettersi almeno un assistente molto competente per
esplorare bibliografia, esempi, formulazioni e connessioni. Questo pu
contare molto per chi lavora in un dipartimento pi isolato, per chi entra in unarea nuova, per chi non ha immediatamente il collega giusto alla porta accanto.
La matematica  sempre stata internazionale, ma non  mai stata
distribuita in modo uniforme. Contano le scuole, le reti, i seminari, le biblioteche, la possibilit di fare le domande giuste alle persone giuste.
LIA non cancella queste differenze, per pu attenuarne alcune. In questo senso non  solo accelerazione:  anche una forma imperfetta, fragile, ma reale di democratizzazione.
Naturalmente c il rovescio. Se diventa facile produrre testi matematici plausibili, aumenter anche il rumore: bozze deboli, dimostrazioni false ma ben scritte, risultati non controllati. Questo rischio non  secondario.
La risposta non pu essere n rifiutare gli strumenti, n usarli con fiducia ingenua. Serve una cultura della verifica ancora pi forte.
In questo senso, la formalizzazione automatica e i proof assistant potrebbero diventare sempre pi importanti: non perch eliminano il matematico, ma perch aiutano a controllare una parte del processo che oggi dipende da lettura umana, fiducia e tempo.
Per me, quindi, lIA non rende la matematica meno umana. Potrebbe farlo solo se scambiassimo la velocit per comprensione. La velocit  utile: permette di provare pi esempi, leggere pi direzioni, formulare pi
ipotesi. Ma non decide quali problemi siano profondi, non riconosce da
sola una definizione naturale, non sostituisce il gusto per una dimostrazione che spiega davvero.
Il punto  usare questi strumenti senza confondere il loro ruolo. LIA pu aiutare a esplorare. Pu suggerire. Pu far emergere errori, esempi, analogie, strade laterali. Pu comprimere settimane di tentativi in molto meno tempo. Ma alla fine il lavoro matematico resta dove  sempre stato: nel giudicare, verificare, scegliere, capire. Non deve liberarci dal pensare. Al massimo, pu liberarci da una parte del lavoro che ci impedisce di pensare abbastanza.

