Galileo Galilei.
LE OPERAZIONI DEL COMPASSO GEOMETRICO E MILITARE

Trascrizione elettronica ad uso esclusivo dei non vedenti curata da:
Catia Righi; revisione di Giovanni Mazzarello.

AL SER.MO D. COSIMO MEDICI, PRINCIPE DI TOSCANA, ETC.

Se io volessi, Serenissimo Principe, spiegare in questo luogo il numero delle
lodi che alla grandezza de i proprii meriti dell'A. V. e della Sua Serenissima
Casa si devono, cos lungo discorso far mi converrebbe, che il proemio di
lunga mano il resto del ragionamento avanzerebbe; onde io mi asterr di
tentare quell'impresa, al mezo della quale, non che al fine, condurmi
diffiderei. Oltre che, non per accrescere splendore alla Serenit Vostra, che
gi come nascente Sole per tutto l'occidente risplende, ho io abbracciata
l'occasione di dedicarli la presente fatica, ma, all'incontro, acci che il
fregio e l'ornamento del nome vostro, che in fronte, com'io nell'anima,
porter sempre scritto, all'oscure sue tenebre grazia e splendore aqquisti. N
io come oratore per esaltare la gloria di V. A. S. gli vengo avanti, ma come
devotissimo servo ed umilissimo vassallo li porgo un debito tributo; il che
prima avrei fatto, se la tenerezza della sua et non mi avesse persuaso ad
aspettar questi anni a simili studii pi accomodati. Che poi questo picciol
dono deva esser con lieta fronte ricevuto dall'A. V., non devo io mettere in
dubio; s perch l'infinita sua umanit nativa me lo persuade, e la
proporzione, che ha questa lettura con li altri tanti suoi esercizii regii, me
l'afferma; s ancora, oltre a ci, perch l'esperienza stessa me l'accerta,
essendosi ella, per gran parte dell'estate passata, degnata di ascoltar con
tanto benigna udienza dalla mia viva voce l'esplicazione di molti usi di
questo Strumento. Gradir dunque l'A. V. S. questo mio, dir quasi, scherzo
matematico a i suoi primi giovenili studii nobilmente conforme; ed avanzandosi
con l'et in queste, veramente regie, discipline, aspetti di tempo in tempo
dal mio basso ingegno tutti quei pi maturi frutti, che dalla Divina grazia
m' stato e sar conceduto di raccorre. E qui con ogni umilt inchinandomi, li
bacio reverentemente la vesta; e dal S. Dio li prego somma felicit.

Di Padova, li X di Luglio 1606.

Di V. A. Serenissima

Umiliss. ed Obligatiss. Servo
GALILEO GALILEI.

A I DISCRETI LETTORI
La occasione di pratticar con tanti e tanti Signori grandi in questo
nobilissimo Studio di Padova, per instituirgli nelle scienze matematiche, mi
ha con lunga esperienza fatto conoscere, come non fu del tutto indecente la
richiesta di quel gran discepolo, che da Archimede, suo maestro nella
geometria, ricerc strada pi facile ed aperta, che all'aqquisto di quella lo
conducesse: imper che anco in questa et pochissimi sono a i quali gli erti e
spinosi sentieri, per i quali passar bisogna prima che all'aqquisto de i
preziosi frutti di queste scienze pervenir si possa, non rincreschino, o che
spaventati dalla lunga asprezza, e pi dal non vedere, o potersi imaginare,
come queste oscure e sconosciute strade al desiderato termine condur gli
possino, a men che mezo il cammino non si atterrino, ed abbandonino l'impresa.
E ci ho io tanto pi frequentemente veduto accadere, quanto con pi gran
personaggi mi sono incontrato; come quelli che, essendo in tanti altri maneggi
occupati e distratti, non possono in questi esercitar quell'assidua pazienza,
che vi saria necessaria. Io dunque, scusandogli insieme col giovine Re di
Siracusa, e desiderando che non restino per la difficolt e lunghezza delle
communi strade privi di cognizioni tanto a nobili Signori necessarie, mi
rivolsi a tentare di aprir questa via veramente regia, la quale con l'aiuto di
questo mio Compasso in pochissimi giorni insegna tutto quello, che dalla
geometria e dall'aritmetica, per l'uso civile e militare, non senza
lunghissimi studii per le vie ordinarie si riceve. Quello che io abbia con
questa mia opera conseguito, nol dir io, ma lo lascier giudicare a quelli
che da me sin qui l'hanno appresa o per l'avvenire l'apprenderanno, ed in
particolare da chi avr veduti gli Strumenti da gli altri in simili propositi
ritrovati: ben che la pi gran parte dell'invenzioni, e le maggiori, che nel
mio Strumento si contengono, da altri sin qui non sono state n tentate n
immaginate; tra le quali  molto principale questa, del poter qual si voglia
persona risolvere in un istante le pi difficili operazioni di aritmetica;
delle quali per ne descrivo quelle sole che alle civili e militari occorrenze
pi frequentemente accaggiono. Duolmi solamente, benigno lettore, che
quantunque io mi sia ingegnato di spiegare le seguenti cose con ogni chiarezza
e facilit possibile, tuttavia a chi le dovr dalla scrittura cavare,
resteranno in qualche oscurit involte, perdendo appresso molta di quella
grazia, che nel vederle attualmente operare, e nell'apprenderle dalla viva
voce, le rende meravigliose: ma questa  una di quelle materie, che non
patiscono di essere con chiarezza e facilit descritte, n intese, se prima
dalla viva voce non si ascoltano, e nell'atto stesso esercitar non si veggono.
E questa saria stata potente cagione, che mi arrebbe fatto astener
dall'imprimer quest'opera, se non mi fosse giunto all'orecchie, che altri,
alle mani di cui, non so in qual guisa,  pervenuto uno de i miei Strumenti
con la sua dichiarazione, si apparecchiava per appropriarselo; il che mi ha
messo in necessit di assicurar, col testimonio delle stampe, non meno le
fatiche mie, che la riputazione di chi se l'avesse volute attribuire; perch
quanto al far cauto me, non mancano le testimonianze di Principi ed altri gran
Signori, i quali da 8 anni in qua hanno questo Strumento veduto, e da me
appresone l'uso; de i quali quattro soli mi baster ora nominare. Uno fu
l'Illustrissimo ed Eccellentissimo Sig. Gio. Friderico Principe di Holsazia,
etc. e Conte di Oldemburg, etc., che l'anno 1598 apprese da me l'uso di questo
Strumento, ma non ancora a perfezione ridotto. E poco doppo fui dell'istesso
favore onorato dal Serenissimo Arciduca D. Ferdinando d'Austria.
L'Illustrissimo ed Eccellentissimo Sig. Filippo Landgravio di Assia e Conte di
Nidda, etc. l'anno 1601 intese il medesimo uso qui in Padova. Ed il
Serenissimo di Mantova due anni sono volse da me sentirne l'esplicazione.
Aggiugnesi che il tacere io la fabrica dello Strumento, la quale per la lunga
e laboriosa sua descrizione e per altri rispetti al presente pretermetto,
render questo trattato del tutto inutile a chi senza lo Strumento ei
pervenisse nelle mani. E per tal causa ne ho io fatte stampare appresso di me
60 copie sole, per presentarne insieme con lo Strumento, con la somma
diligenza che si ricerca fabricato e diviso, prima al Serenissimo Principe di
Toscana mio Signore, e poi ad altri Signori, da i quali so questa mia fatica
esser desiderata. Finalmente, essendo mia intenzione di esplicare al presente
operazioni per lo pi attenenti al soldato, ho giudicato esser bene scrivere
in favella toscana, acci che, venendo talora il libro in mano di persone pi
intendenti della milizia che della lingua latina, possa da loro esser
comodamente inteso.
Vivete felici.

DIVISIONE DELLA LINEA.


Operazione I.

Venendo alla dichiarazione particolare delle operazioni di questo nuovo
Compasso Geometrico e Militare, primamente faremo principio da quella faccia
di esso nella quale sono notate quattro coppie di linee con loro divisioni e
numeri; e tra esse parleremo prima delle pi interiori, denominate Linee
Aritmetiche per esser le loro divisioni fatte in proporzione aritmetica, cio
con eguali eccessi, che procedono sino al numero 250, dalle quali trarremo
diversi usi. E primamente:
Col mezo di queste linee potremo dividere una linea retta propostaci in quante
parti eguali ne piacer, operando in alcuno delli infrascritti modi.
Quando la proposta linea sia di mediocre grandezza, s che non ecceda
l'apertura dello Strumento, piglieremo con un compasso ordinario l'intera
quantit di quella, e questo spazio applicheremo traversalmente, aprendo lo
Strumento, a qualunque numero di esse Linee Aritmetiche, pur che sia tale, che
sopra le medesime linee ve ne sia un minore, e da quello contenuto tante volte
quante sono le parti in che si ha da dividere la linea proposta; ed aggiustato
in tal guisa lo Strumento, e preso lo spazio traversale tra i punti di questo
minor numero, questo senz'alcun dubbio divider la proposta linea nelle parti
ordinateci. Come, per essempio:
Dovendo noi dividere la linea data in cinque parti eguali, pigliamo due numeri
de' quali il maggiore sia quintuplo dell'altro, come sariano 100 e 20, ed
aperto lo Strumento aggiustiamolo in maniera, che la distanza gi presa col
compasso si adatti traversalmente alli punti segnati 100.100, e non movendo
pi lo Strumento, prendasi la distanza pur traversale tra li punti delle
medesime linee segnati 20.20; perch indubitatamente questa sar la quinta
parte della linea proposta. E con simile ordine troveremo ogn'altra divisione:
avvertendo di prendere numeri grandi, pur che non si passi 250, perch, cos
facendo, l'operazione riuscir pi facile ed esatta.
L'istesso potremo conseguire operando in un altro modo; e l'ordine sar tale.
Volendo dividere, per essempio, la sottoposta linea AB , v. g., in 11 parti,
prender un numero multiplice dell'altro undici volte, come saria 110 e 10, e
presa col compasso tutta la linea AB, l'accomoder traversalmente, aprendo lo
Strumento, alli punti 110; dipoi, non si potendo sopra le medesime linee
prendere la distanza tra li punti 10, li quali vengono occupati dalla
grandezza della nocella, in vece di questa si piglier l'intervallo tra li
punti 100.100, stringendo un poco il compasso; del quale fermata poi un'asta
nel punto B, noter con l'altra il segno C, onde la rimanente linea AC sar la
undecima parte di tutta l'AB; e similmente, fermata l'asta del compasso in A,
segner verso l'altra estremit il punto E, lasciando la EB eguale alla CA.
Dipoi, stringendo ancora un poco il compasso, prender l'intervallo traversale
tra li punti 90.90 e questo trasporter da B in D, e da l'A in F, ed aver due
linee CD, FE, undecime parti ancor'esse della intera. E col medesimo ordine
trasferendo di qua e di l le distanze prese tra li punti 80.80, 70.70, etc.,
troveremo le altre divisioni; come nella sottoposta linea distintamente si
vede.
Ma quando ci fusse proposta una piccolissima linea da dividersi in molte
parti, come sarebbe, per essempio, la seguente linea AB  , per dividerla, v.
g., in 13 parti, potremo secondo quest'altra regola procedere.
Prolunghisi occultamente essa linea AB sino in C; e misurate in essa altre
linee, quante ci piaceranno, eguali alla AB, e siano nel presente essempio
altre sei, s che AC sia settupla di essa AB,  manifesto che di quelle parti,
delle quali la AB contiene tredici, tutta la AC ne conterr 91; onde, presa
con un compasso tutta la AC, l'applicheremo traversalmente, aprendo lo
Strumento alli punti 91.91, e, stringendo poi il compasso a un punto meno,
cio a li punti 90.90, trasporteremo questa distanza dal punto C verso A;
perch, notando il termine verso A, si lascer la novantunesima parte di tutta
la CA, che  la tredicesima della BA, fuori, pur verso il termine A. E cos,
se ci piacer, verremo stringendo di punto in punto il compasso all'89, 88,
87, etc., e trasporteremo questi intervalli dal termine C verso A, e si
verranno di grado in grado ritrovando e notando le altre particelle della
linea proposta AB.
Ma se finalmente la linea da dividersi fusse lunghissima, s che eccedesse di
molto la maggiore apertura dello Strumento, potremo in ogni modo prendere di
essa la parte assegnataci, la quale sia, per essempio, la settima. Ora per
trovarla, avendoci prima immaginati due numeri, l'uno settuplo dell'altro,
quali sieno, v. g., 140 e 20, costituiscasi lo Strumento in qual si voglia
apertura, e da esso presa con un compasso la distanza traversale tra li punti
140.140, veggasi quante volte questa  compresa nella gran linea proposta; e
quante volte vi  contenuta, tante volte l'intervallo traversale tra li punti
20.20 si replichi sopra la gran linea, e si aver la sua settima parte, quando
per l'intervallo, che si prese tra li punti 140, avesse misurato precisamente
la data linea. Ma se non l'avesse misurata a punto, bisogneria prendere
dell'avanzo la settima parte, secondo il modo di sopra dichiarato, e questa
aggiugnere a quell'intervallo che fu sopra la gran linea pi volte replicato;
e si aver la settima parte a capello, secondo che si desiderava.



COME DI UNA LINEA PROPOSTA POSSIAMO PRENDERE
QUALUNQUE PARTI CI VERRANNO ORDINATE.


Operazione II.

La presente operazione  tanto pi utile e necessaria, quanto che senza
l'aiuto del nostro Strumento saria difficilissimo trovar tali divisioni; le
quali per con lo Strumento in uno instante si conseguiranno. Quando dunque ci
bisognasse d'una linea proposta prendere qualunque parti ci venissero
ordinate, come, per essempio, delle 197 parti doviamo prendere le 113, piglisi
senz'altro con un compasso la lunghezza della data linea, ed aperto lo
Strumento sin che tale lunghezza si accomodi traversalmente alli punti segnati
197, e pi non lo movendo, prendasi con l'istesso compasso la distanza tra li
punti 113.113; ch tanta senz'alcun dubio sar la porzione della linea
proposta, che alli centotredici centonovantasettesimi si agguaglia.



COME LE MEDESIME LINEE CI PRESTANO DUE, ANZI INFINITE, SCALE
PER TRASPORTAR UNA PIANTA IN UN'ALTRA MAGGIORE O MINORE,
SECONDO IL NOSTRO ARBITRIO.


Operazione III .

 manifesto che qualunque volta ci bisognasse cavare da un dissegno un altro
maggiore o minore secondo qual si voglia proporzione, fa di mestiero che ci
serviamo di due scale esattamente divise, l'una delle quali ci serva per
misurare il disegno gi fatto, e l'altra per notare le linee del disegno da
farsi, tutte proporzionate alle loro corrispondenti del disegno proposto; e
tali due scale avremo sempre dalle linee delle quali ora parliamo: ed una
d'esse sar la linea gi sopra lo Strumento dirittamente divisa e ch'ha il suo
principio nel centro dello Strumento; e questa, ch' una scala stabile, ci
servir per misurare i lati della proposta pianta: l'altra, che sar per
disegnare la nuova pianta, deve esser mobile, cio deve potersi crescere e
diminuire ad arbitrio nostro, secondo che la nuova pianta dovr esser o
maggiore o minore; e tale scala mutabile sar quella che dalle medesime linee
avremo traversalmente, stringendo o allargando il nostro Strumento. Ma per pi
chiara intelligenza del modo d'applicare all'uso tali linee, ne metteremo un
essempio.
 Siaci dunque proposta la pianta ABCDE, alla quale se ne deve disegnare
un'altra simile, ma sopra la linea FG, la quale sia omologa, cio risponda
alla linea AB. Qui  manifesto che bisogna servirsi di due scale l'una per
misurar le linee della pianta ABCDE, e l'altra con la quale si misurino le
linee della pianta da farsi, e questa deve esser dell'altra maggiore o minore
secondo la proporzione della linea FG alla AB. Piglia dunque con un compasso
la linea AB, la quale applica rettamente sopra la scala dello Strumento,
ponendo un'asta del compasso nel centro dello Strumento, e l'altra sopra il
punto dove cascher, che sia, per essempio, al 60; dipoi prendi pur col
compasso la linea FG, e posta una delle sue aste nel punto 60, apri lo
Strumento sin tanto che l'altr'asta caschi giusto traversalmente sopra l'altro
corrispondente punto 60: n pi si muter tale costituzione dello Strumento,
ma tutti gli altri lati della pianta proposta si misureranno sopra la scala
retta, ed immediatamente si prenderanno le distanze corrispondenti ad essi
traversalmente, per li lati della nuova pianta. Come, verbi gratia, vogliamo
ritrovare la lunghezza della linea GH rispondente alla BC: prendi col compasso
la distanza BC, e questa applica dal centro dello Stromento rettamente sopra
la scala; e fermata l'altr'asta nel punto dove casca, quale sia, per essempio,
66, volta l'altr'asta all'altro punto 66, traversalmente rispondente, secondo
la cui misura taglierai la linea GH, che risponder alla BC in quell'istessa
proporzione che la linea FG alla AB. Ed avvertiscasi, che quando si volesse
trasportare una pianta piccola in un'altra assai maggiore, bisogner servirsi
delle due scale con ordine opposto, cio usare la scala retta per la pianta da
farsi, e la traversale per misurar le linee della pianta proposta. Come, per
essempio, aviamo la pianta ABCDEF  , la quale vogliamo trasportare in un'altra
assai maggiore, cio sopra la linea GH che sia rispondente alla linea AB. Per
aggiustar le scale prendasi la linea GH, e veggasi quanti punti contiene nella
scala retta, e veduto contenerne, v. g., 60, prendasi la sua rispondente AB,
ed adattisi traversalmente alli punti 60.60, n pi si muova lo Strumento: per
trovar poi la linea HI, rispondente alla BC, piglia col compasso essa BC, e va
investigando a quali punti si accomodi sopra la scala traversale; e trovato
accomodarsi, per essempio, alli punti 46, piglia immediatamente l'intervallo
de i punti 46 sopra la scala retta; e troverai la lunghezza della linea HI
rispondente alla BC. E notisi, tanto per questa quanto per la precedente
operazione, che non basta aver trovato la lunghezza HI, se non si trova ancora
a qual punto si deve drizzare, acci che costituisca l'angolo H eguale
all'angolo B. Per, trovata che si aver essa linea HI, fermata un'asta del
compasso nel punto H, si noter con l'altra occultamente una porzione di arco,
secondo che mostra la linea puntata OIN; di poi si piglier l'intervallo tra
'l punto A e 'l punto C, e si cercher quanti punti sia sopra la scala
traversale; e trovato essere, v. g., 89, si prender rettamente la distanza 89
col compasso; del quale fermata un'asta in G, si noter con l'altra
l'intersecazione dell'arco RIQ con l'arco primo OIN, fatta nel punto I, al
quale si deve drizzar la linea HI: e sar senza dubio l'angolo H eguale
all'angolo B, e la linea HI proporzionale alla BC. E con tale ordine si
troveranno li altri punti K, L, M, rispondenti all'angoli D, E, F.



REGOLA DEL TRE RISOLUTA COL MEZO DEL COMPASSO
E DELLE MEDESIME LINEE ARITMETICHE.


Operazione IV.

Servonci le presenti linee non tanto per la resoluzione di diversi problemi
lineari, quanto per alcune regole di aritmetica: tra le quali porremo questa,
che risponde a quella nella quale Euclide c'insegna. Proposti tre numeri,
trovare il quarto proporzionale; perch altro non  la regola aurea, che del
tre domandano i prattici, che trovare il quarto numero proporzionale alli tre
proposti. Dimostrando adunque il tutto con l'essempio, per pi chiara
intelligenza, diciamo:
Se 80 ci d 120, che ci dar 100? Hai dunque tre numeri posti con quest'ordine
80 120 100: e per trovare il quarto numero che cerchiamo, prendi sopra lo
Strumento rettamente il secondo numero de i proposti, cio 120, ed applicalo
trasversalmente al primo, cio all'80; dipoi prendi trasversalmente il terzo
numero, cio 100, e misuralo rettamente sopra la scala; e quello che troverai,
cio 150, sar il quarto numero cercato. E nota che l'istesso avverria se, in
vece di prendere il secondo numero, pigliassi il terzo, e poi, in vece del
terzo, pigliassi il secondo; cio che l'istesso ci dar il secondo numero
preso rettamente ed applicato al primo trasversalmente, pigliando dipoi il
terzo trasversalmente e misurandolo rettamente, che ci daria il terzo
rettamente preso e trasversalmente al primo applicato, pigliando poi il
secondo trasversalmente e rettamente misurandolo: ch nell'uno e nell'altro
modo troveremo 150. E ci  bene aver avvertito, perch, secondo le diverse
occasioni, questo di quello o quello di questo modo di operare ci torner pi
accomodato.
Possono, circa l'operazione di questa regola del tre, occorrere alcuni casi,
li quali potriano partorir qualche difficolt se non si avvertissero,
dimostrando appresso come in essi si deva procedere. E prima, potria alcuna
volta occorrere che, delli 3 numeri proposti, n il secondo n il terzo, preso
rettamente, si potesse applicare trasversalmente al primo: come se si dicesse:
25 mi d 60; che dar 75? dove tanto il 60 quanto il 75 passa il doppio del
primo, cio di 25, s che n l'uno n l'altro di essi si pu, rettamente
preso, applicare trasversalmente ad esso 25. Onde, per conseguire l'intento
nostro, piglieremo o il secondo o il terzo rettamente, e l'applicheremo al
doppio del primo trasversalmente, cio a 50 (e quando non bastasse al doppio,
l'applicheremo al triplo, al quadruplo, etc.); dipoi, pigliando l'altro
trasversalmente, affermeremo che quello che ci mostrer misurato rettamente
sar la met (o vero la terza o quarta parte) di quello che cerchiamo. E cos,
nel proposto essempio, 60 preso rettamente, applicato al doppio di 25, cio a
50, trasversalmente, e subito preso il 75, pur trasversalmente, e questo
misurato rettamente, troveremo che ci dar 90; il cui doppio, ci  180,  il
quarto numero che si cercava.
Potria in oltre occorrere che il secondo o il terzo de i numeri proposti non
si potesse applicare al primo, per esser esso primo troppo grande, s che
eccedesse il numero segnato sopra le linee, cio 250: come se dicessimo: 280
mi d 130; che mi dar 195? In tal caso, preso rettamente il 130, si butter
trasversalmente alla met di 280, che  140; dipoi si prender trasversalmente
la met del terzo numero, cio di 195, che  97 e mezo, e questo spazio,
misurato rettamente, ci dar 90 e mezo: che  quello che si cercava.
Un'altra cautela sar bene che ponghiamo, per servircene quando il secondo o
terzo delli numeri proposti fusse molto grande, essendo li altri due mediocri:
come quando si dicesse: Se 60 mi d 390, che mi dar 45? Preso dunque 45
rettamente, si applicher trasversalmente al 60; e non si potendo pigliare il
390 intero, lo piglieremo in pezzi, secondo che pi ci piacer: come, v. g.,
piglier 90 trasversalmente, il quale, misurato rettamente, mi dar 67 e mezo,
il che noter da parte; piglier poi trasversalmente 100, che, misurato
rettamente, mi dar 75; e perch nel 390 vi  una volta 90 e tre volte 100,
prender tre volte il 75 trovato, e di pi 67 e mezo, che fu trovato in virt
del 90; e tutta questa somma fa 292 e mezo, per il quarto numero che si cerca.
Ultimamente non resteremo di dire come si possa operare la medesima regola in
numeri picciolissimi, ben che nello Strumento non si siano potuti notare i
punti dal 15 in gi, mediante la nocella che unisce e collega le aste dello
Strumento. Ma in questa occasione ci serviremo delle decine de i punti come se
fussero unit: s che dicendo, per essempio: Se 10 d 7, che dar 13? non
potendo pigliar 7 per buttarlo a 10, piglieremo 70, cio 7 decine, e lo
butteremo a 10 decine, cio a 100; e subito pigliando 13 decine, torneremo a
misurar questa distanza rettamente, e la troveremo contenere punti 91, che
sono 9 ed un decimo, facendo, come si  detto, che ogni decina vaglia uno. E
da tutti questi avvertimenti, quando si averanno bene in prattica, si potr
facilmente investigare la soluzione di tutte le difficolt, che ci potessero
in ogni caso occorrere.



REGOLA DEL TRE INVERSA, RISOLUTA COL MEZO DELLE MEDESIME LINEE.


Operazione V.

Con non dissimile operazione si risolveranno i quesiti della regola del tre
inversa: eccone un essempio. Quella vittovaglia che basteria per mantenere 60
giorni 100 soldati, a quanti basteria giorni 75? Questi numeri, disposti alla
regola, stariano in quest'ordine 60 100 75. E l'operazione dello Strumento
richiede che pigli rettamente il primo numero, cio 60, e l'applichi
trasversalmente al numero terzo, cio 75; e non movendo lo Strumento, piglia
trasversalmente il 100, che  il secondo, e misuralo rettamente, e troverai
80: qual' il numero cercato. Dove si deve parimente avvertire, che 'l
medesimo ritroveremo applicando il secondo rettamente al terzo
trasversalmente, e poi misurando rettamente il primo trasversalmente preso.
Devesi oltre a ci notare, che tutti gli avvertimenti posti sopra circa la
regola del tre si devono ancora in questa per l'appunto osservare.



REGOLA PER TRASMUTAR LE MONETE.


Operazione VI.

Col mezo di queste medesime Linee Aritmetiche possiamo trasmutar ogni spezie
di moneta l'una nell'altra con maniera molto facile e spedita: il che si
conseguir con l'aggiustar prima lo Strumento, pigliando rettamente il prezzo
della moneta che vogliamo trasmutare, ed accomodandolo trasversalmente al
prezzo di quella in cui si ha da fare la trasmutazione; come, acci pi
distintamente il tutto s'intenda, dichiareremo con un essempio. Vogliamo, v.
g., trasmutare scudi d'oro in ducati veneziani: e perch il prezzo o valuta
dello scudo d'oro  lire 8, e la valuta del ducato lire 6, soldi 4, 
necessario (poi che il ducato non  misurato precisamente dalle lire,
entrandovi soldi 4) risolvere l'una e l'altra moneta, e valutarla con li
soldi, considerando come il prezzo dello scudo  soldi 160, e quello del
ducato 124. Per aggiustar dunque lo Strumento alla trasmutazione di scudi
d'oro in ducati, piglia rettamente la valuta dello scudo, cio 160, ed
applicala, aprendo lo Strumento, trasversalmente al valore del ducato, cio a
124, n pi moverai lo Strumento: dipoi qualunque somma di scudi proposta
trasmuterai in ducati, pigliando la detta somma trasversalmente e misurandola
rettamente. Come, per essempio, vogliamo sapere quanti ducati faccino 186
scudi: piglia 186 per traverso e misuralo rettamente, e troverai 240; e tanti
ducati faranno li detti scudi.



REGOLA DE GL'INTERESSI SOPRA INTERESSI,
CHE ALTRIMENTI SI DICE DE I MERITI A CAPO D'ANNO.


Operazione VII.

Assai speditamente potremo risolvere le questioni di questa regola con l'aiuto
delle medesime Linee Aritmetiche, e ci con due diverse maniere di operare,
come con due seguenti essempi faremo chiaro e manifesto. Cercasi quanto siano
per guadagnare 140 scudi in 5 anni a ragione di 6 per 100 l'anno, lasciando
gl'interessi sopra il capitale e sopra li altri interessi, acci che
continuamente guadagnino. Per trovar dunque quanto cerchiamo, piglia
rettamente il primo capitale, cio 140, e questo butta trasversalmente al 100;
e senza mover lo Strumento, piglia subito, pur trasversalmente, la distanza
tra li punti 106, che  il 100 con l'interesse, e torna di nuovo ad aprir lo
Strumento, e questo intervallo, ch'ultimamente pigliasti col compasso,
ributtalo al 100; ed aprendo un poco pi il compasso, piglia trasversalmente
la distanza tra li punti 106, e di nuovo aperto un poco pi lo Strumento,
butta questa distanza pur ora trovata al 100; ed aprendo il compasso, piglia
il 106; ed in somma va replicando questa medesima operazione tante volte,
quanto  il numero de gli anni del merito; ed essendo, nel presente essempio,
il merito per anni cinque, devi reiterar l'operazione cinque volte. Ed in
ultimo, misurando rettamente l'intervallo ch'averai preso, troverai comprender
punti 187 e un terzo: e tanti scudi saranno doventati li 140 posti da
principio, col guadagno de i sei per cento, nello spazio di anni cinque. E
nota, che se ti tornasse pi comodo di servirti, in cambio del 100 e 106, del
200 e 212, come spesse volte occorrer, il medesimo sar ritrovato.
L'altro modo di operare non richiede altra mutazione nello Strumento che un
solo primo accomodamento; e procedesi cos. Servendoci del medesimo quesito
posto sopra, per aggiustar lo Strumento piglia 100 col suo primo interesse,
cio 106, rettamente; ed aperto lo Strumento, applicalo trasversalmente al
100, n mai pi moverai lo Strumento. Piglia poi trasversalmente la somma de i
denari proposta, che fu 140, e misurala rettamente; e vederai gi il guadagno
del primo anno esser 148 e due quinti, comprendendo per anche il capitale.
Per trovar il secondo anno, piglia trasversalmente questo 148 e due quinti, e
senz'altro misuralo rettamente; e troverai 157 e un terzo per il secondo anno.
Piglia poi questo medesimo numero 157 e un terzo trasversalmente, e torna a
misurarlo rettamente; e troverai 166 e tre quarti per il capitale e guadagno
del terzo anno. Torna a pigliar questo 166 e tre quarti trasversalmente, e
misuralo rettamente; ed averai per il quarto anno 176 e tre quarti. Finalmente
piglia questo trasversalmente, e torna a misurarlo rettamente; ed averai per
il quinto anno, tra capitale e guadagno, 186 e un terzo. E cos, volendo per
pi anni, andrai replicando l'operazione. E nota, che quando il primo capitale
proposto fusse somma tale che eccedesse il numero de i punti 250, segnati
sopra le Linee Aritmetiche, devi operare a pezzi, pigliando la met, il terzo,
il quarto, il quinto, o altra parte della somma proposta; ch in fine,
pigliando due, tre, quattro, o cinque, o pi volte, quello che trovi, verrai
in cognizione di quello che desideri.

DELLE LINEE GEOMETRICHE, CHE SEGUONO APPRESSO, E LORO USI ;

E PRIMA, COME COL MEZO DI ESSE POSSIAMO CRESCERE O DIMINUIRE
IN QUALUNQUE DATA PROPORZIONE TUTTE LE FIGURE SUPERFICIALI.


Operazione VIII.

Le linee che seguono appresso le Aritmetiche, di sopra dichiarate, sono dette
Linee Geometriche, per esser divise secondo la geometrica proporzione
procedente sino al 50; dalle quali trarremo diverse utilit: e prima ci
serviranno per trovar il lato di una figura superficiale che ad un'altra
proposta abbia una data proporzione; come saria, per essempio  , sendoci
proposto il triangolo ABC, vogliamo trovar il lato di un altro, che ad esso
abbia proporzione sesquialtera. Piglinsi due numeri nella data proporzione, e
siano, per essempio, 12 ed 8; e presa con un compasso la linea BC, adattisi,
aprendo lo Strumento, alli punti delle Linee Geometriche 8.8, e senza punto
muover l'apertura, prendasi l'intervallo tra li punti 12.12; perch, se faremo
una linea di tal grandezza lato di un triangolo, rispondente alla linea BC,
sar la sua superficie indubitatamente sesquialtera del triangolo ABC. E
questo medesimo intendasi di ogn'altra sorte di figura; e delli cerchi ancora
faremo questo medesimo, servendoci delli loro diametri o semidiametri come de
i lati delle figure rettilinee. E notisi, per le persone pi vulgari, che la
presente operazione  quella che c'insegna crescere o diminuire tutte le
piante superficiali; come, v. g., avendo una pianta, la quale contiene, per
essempio, 10 campi di terreno, ne vorremmo disegnare una che ne contenesse 34.
Piglia qualunque linea della pianta di 10 campi, ed applicala trasversalmente
alli punti 10 delle presenti Linee Geometriche, e senza pi muover lo
Strumento, prendi l'intervallo trasversale tra li punti 34 delle medesime
linee, e sopra una tal lunghezza descrivi la tua pianta simile alla prima,
secondo la regola che di sopra nella terza operazione fu insegnato; ed averai
la pianta cercata, capace precisamente di 34 campi.



COME CON L'ISTESSE LINEE POSSIAMO TROVARE LA PROPORZIONE
TRA DUE FIGURE SUPERFICIALI TRA DI LORO SIMILI.


Operazione IX.

Sianci, per essempio, proposti li due quadrati A, B  , o vero qualunque due
altre figure, delle quali le due medesime linee A, B siano lati omologhi.
Volendo trovar qual proporzione abbino tra di loro le dette superficie,
prendasi con un compasso la linea B, la quale, aprendo lo Strumento, si
applichi a qual si voglia punto di esse Linee Geometriche, e sia, per
essempio, al 20; dipoi, non movendo lo Strumento, prendasi col compasso la
linea A, e questa applicata alle Linee Geometriche, veggasi a che numero si
adatti; e trovato, v. g., che si aggiusti al numero 10, dirai la proporzione
delle due figure esser quella che ha 20 a 10, cio doppia. E quando la
grandezza di questa linea non si accomodasse precisamente ad alcuna delle
divisioni, dobbiamo rinovare l'operazione, ed, applicando ad altri punti che
alli 20, tentare sin tanto che l'altra linea ancora esattamente si accomodi a
qualche punto; il che trovato, sapremo consequentemente la proporzione delle
due figure assegnateci, per esser lei sempre la medesima che quella de i
numeri delli due punti, alli quali le dette linee, nella medesima apertura
dello Strumento, si accomodano. E quando dell'una delle due piante proposteci
fusse data la capacit, si trover il contenuto dell'altra nel medesimo modo.
Come, per essempio: Essendo la pianta della linea B 30 campi, si cerca quanto
saria la pianta A: accomoda la linea B trasversalmente ai punti 30, e vedi poi
a qual numero si adatti, pur trasversalmente, la linea A; e tanti campi dirai
contenere la pianta di essa linea A.



COME SI POSSA COSTITUIRE UNA FIGURA SUPERFICIALE
SIMILE ED EGUALE A MOLTE ALTRE SIMILI PROPOSTECI.


Operazione X.

Sianci, per essempio, proposte tre figure simili  , delle quali li lati
omologhi siano le linee A, B, C, alle quali se ne debbe trovar una sola
eguale, e pure ad esse simile. Prendi col compasso la lunghezza della linea C,
e questa, aperto lo Strumento, applicherai a qual numero pi ti piace delle
Linee Geometriche, e sia, v. g., applicata alli punti 12.12; dipoi, lasciato
lo Strumento in tal sito, prendi la linea B, e vedi a che numero delle
medesime linee si accomodi, che sia, per essempio, al 9; e perch l'altra si
era aggiustata al 12, congiugnerai questi due numeri 9 e 12 insieme, e terrai
a memoria 21; piglia dipoi la terza linea A, e, secondo il medesimo ordine,
considera a qual numero delle medesime linee trasversalmente si adatti, e
trovato, v. g., adattarsi al 6, aggiugnerai 6 al 21, che salvasti, e averai in
tutto 27. Piglia dunque la distanza trasversale tra li punti 27, ed averai la
linea D; sopra la quale facendo una figura simile a le altre 3 proposte, sar
ancora di grandezza alle medesime tre insieme eguale. E col medesimo ordine ne
potrai ridurre in una sola quante ne venissero proposte, pur che le proposte
siano tutte simili tra di loro.



PROPOSTE DUE FIGURE SIMILI E DISEGUALI, TROVAR LA TERZA
SIMILE ED EGUALE ALLA DIFFERENZA DELLE DUE PROPOSTE.


Operazione XI.

La presente operazione  il converso della gi dichiarata nel precedente
capitolo; e la sua operazione sar in tal guisa. Sianci, per essempio,
proposti 2 cerchi diseguali  , e del maggiore sia diametro la linea AA, e del
minore la BB: volendo trovar il semidiametro del cerchio eguale alla
differenza delli due A, B, prendi con un compasso la lunghezza della linea
maggiore A, ed applicala, aprendo lo Strumento, a qual punto pi ti piacer
delle Linee Geometriche, e sia, per essempio, applicata al numero 20; e non
movendo lo Strumento, considera a qual punto delle medesime linee si aggiusta
la linea B, e trovato, per essempio, accomodarsi al numero 8, sottratto questo
di 20, rester 12; e presa la distanza tra li punti 12.12, averai la linea C,
il cui cerchio sar eguale alla differenza delli due A, B. E quello che si 
assemplificato ne i cerchi per via de i loro semidiametri, intendasi esser
l'istesso nelle altre figure simili, operando con uno de i loro dati omologhi.



ESTRAZIONE DELLA RADICE QUADRATA CON L'AIUTO DELLE MEDESIME LINEE.


Operazione XII.

Tre differenti modi di operare nell'estrazion della radice quadrata saranno
nel presente capitolo dichiarati, uno per li numeri mediocri, uno per li
grandi, ed il terzo per li piccioli: intendendo per i numeri mediocri quelli
che sono, tanto nel meno quanto nel pi, intorno al 5000; maggiori, quelli che
sono intorno al 50000; minimi, quelli che sono intorno al 100. E prima faremo
principio da i numeri mediocri.
Per estrar dunque e trovar la radice quadrata di un numero mezano proposto,
prima devesi aggiustar lo Strumento, la qual cosa sar con l'accomodare
trasversalmente al 16 delle Linee Geometriche lo spazio di 40 punti preso
rettamente dalle Linee Aritmetiche: dipoi del numero proposto leva via le due
ultime figure, che dinotano le unit e le decine; e quel numero che resta,
prendi trasversalmente dalle Linee Geometriche, e misuralo rettamente sopra le
Aritmetiche; e quello che trovi sar la radice quadrata del numero proposto.
Come, per essempio, volendo la radice di questo numero 4630, levate le due
ultime figure, cio il 30, resta 46; per piglierai trasversalmente 46 dalle
Linee Geometriche e lo misurerai rettamente sopra le Aritmetiche, e lo
troverai contenere punti 68, che  la prossima radice cercata.
Ma sono in questa regola da notarsi due cose. La prima , che quando le due
ultime figure, che si levano, passassero 50, devi al numero che resta
aggiungere uno: come se, v.g., volessi pigliare la radice di 4192, perch il
92 da levarsi passa 50, in luogo del 41, che restava, devi prendere 42, e nel
resto seguire la regola di sopra.
L'altra cautela, che si deve osservare,  che quando quello che resta,
detratte le due ultime figure, passasse 50, in tal caso, poi che la divisione
delle Linee Geometriche non si estende oltre al 50, si deve del numero che
resta prendere la met o vero altra parte, e questa distanza presa, si deve
geometricamente raddoppiare o secondo il numero della detta parte
multiplicare; e quell'ultimo intervallo cos multiplicato, misurato rettamente
sopra le Linee Aritmetiche, ti dar la radice che cerchi. Come, per essempio,
vogliamo la radice di 8412: aggiustato, come  detto, lo Strumento, e detratte
le due ultime figure, resta 84, il qual numero non  sopra le Linee
Geometriche; per piglierai la sua met, cio 42: preso dunque lo spazio
trasversale tra li punti 42, bisogner che geometricamente sia raddoppiato, il
che farai con aprir pi lo Strumento, sin tanto che il detto spazio si adatti
a qualche numero del quale sopra le medesime linee ve ne sia uno doppio; come,
v. g., saria adattandolo al 20, pigliando poi l'intervallo tra li punti 40, il
quale, misurato finalmente sopra le Linee Aritmetiche, ti mostrer 91 e due
terzi in circa, prossima radice del numero 8412 proposto. E se ti fusse
bisognato del numero dato pigliare la terza parte, nel triplicarla poi
geometricamente, l'applicherai trasversalmente ad un numero delle Linee
Geometriche del quale ve ne sia un altro triplo, come saria al 10 per pigliare
il 30, o al 12 per pigliar il 36.
Quanto al modo di procedere per i numeri maggiori, non si aver altra
differenza dal modo precedente, se non nell'aggiustar lo Strumento e nel levar
dal dato numero le tre ultime note. E l'aggiustar lo Strumento si far
pigliando 100 rettamente dalle Linee Aritmetiche, aggiustandolo poi
trasversalmente alli punti 10.10 delle Geometriche: il che fatto, volendo, v.
g., la radice quadrata di 32140, tolte le tre ultime figure, resta 32, e
questo piglierai trasversalmente dalle Linee Geometriche; che, misurato
rettamente sopra le Aritmetiche, ti mostrer 179, prossima radice di 32140.
Avvertendo che l'istesse cautele notate nell'operazione precedente si devono
per l'appunto osservare in questa: cio, che quando le tre figure, che si
detraggono, passano 500, si ha da aggiunger uno a quello che resta; e se quel
che resta passa 50, se ne piglier una parte, cio la met o il terzo, etc.,
dupplicando o triplicando, al modo dichiarato, quello che averai per la detta
parte preso.
Per li numeri minori, aggiusterai lo Strumento secondo il primo modo, cio con
buttare 40 a 16, pigliando poi trasversalmente dalle Linee Geometriche il
numero proposto, senza levarne figura alcuna; perch, misurando rettamente il
detto spazio sopra le Linee Aritmetiche, troverai la radice cercata in numero
intero ed in frazione. Ma nota che le decine delle Linee Aritmetiche ti
debbono servire per unit, e le unit per decimi di unit: come, per essempio,
vogliamo la radice di 30; aggiusta lo Strumento, come  detto, buttando 40,
preso dalle Linee Aritmetiche rettamente, al 16 delle Geometriche
trasversalmente, dalle quali, preso transversalmente la distanza delli punti
30, misurandola rettamente sopra le Aritmetiche, troverai punti 55, che
importano 5 intieri e 5 decimi, cio 5 e mezo; quanta  la prossima radice di
30. Avvertendo che in questa regola ancora si devono osservare li avvertimenti
e cauzioni nelle altre due regole insegnate.



REGOLA PER LE ORDINANZE DE GLI ESSERCITI DI FRONTE E FIANCO DISEGUALI.


Operazione XIII.

Per le ordinanze di fronte eguale al fianco ci servir, come  manifesto,
l'estrarre la radice quadrata del numero de i soldati propostoci. Ma quando
volessimo formare un'ordinanza con una moltitudine assegnata di soldati, della
quale la fronte ed il fianco non fussero eguali, ma si rispondessero in una
data proporzione, allora, per risolvere il quesito, ci bisogna in altra
maniera procedere, operando nel modo che nel seguente essempio si dichiara.
Sendoci dunque ordinato che ritroviamo la fronte ed il fianco di 4335 soldati,
messi in ordinanza in maniera che per ogni cinque, che saranno nella fronte,
ne siano tre nel fianco, allora, per conseguir l'intento con l'aiuto del
nostro Strumento, prima, considerando i numeri della proporzione assegnataci
esser 5 e 3, aggiungendo a ciascuno di loro un 0, fingeremo che importino 50 e
30. E per trovar la fronte, prenderemo rettamente con un compasso 50 dalle
Linee Aritmetiche, e quest'intervallo accomoderemo trasversalmente alle Linee
Geometriche, ed a quel numero che si produce dalla moltiplicazione tra di loro
de i numeri della proporzione assegnata, cio (nel presente essempio) al 15; e
lasciato lo Strumento in tale stato, si prender trasversalmente, pur nelle
medesime Linee Geometriche, la distanza tra li punti segnati dal numero che
resta, detratte le decine ed unit dal numero de i soldati propostoci, che nel
presente essempio  43; e misurato tale intervallo rettamente sopra le Linee
Aritmetiche, ci dar la fronte di tale ordinanza, che sar soldati 85. E col
medesimo ordine troveremo il fianco, pigliando rettamente 30 dalle Linee
Aritmetiche, e buttandolo trasversalmente al 15 delle Geometriche, e da esse
immediatamente pigliando, pur trasversalmente, l'intervallo tra li punti
43.43; il quale, misurato rettamente sopra le Linee Aritmetiche, ci dar 51
per il fianco. Ed il medesimo ordine si terr in ogni altra moltitudine di
soldati, ed in qualunque altra proporzione assegnataci: avvertendo che, s
come si disse nella radice quadrata, quando le unit e decine che si levano
dal numero proposto passassero 50, si deve alle centinaia, che restano,
aggiugnere uno di pi, etc. N voglio tacere come, trovata che si sar la
fronte secondo la regola gi dichiarata, si potria con altra regola pi
spedita, e con le sole Linee Aritmetiche, trovar il fianco, in questa forma
operando. Gi nell'essempio addotto fu trovato 85 per la fronte, e furno i
numeri della proporzione 5 e 3, che  quanto se si dicesse 50 e 30, o vero 100
e 60, etc.: per quello 85, preso rettamente dalle Linee Aritmetiche,
accomodisi trasversalmente al 100 delle medesime, e piglisi immediatamente
l'intervallo, pur trasversale, tra li punti 60.60 delle medesime linee; il
quale, misurato rettamente, ci mostrer il medesimo numero 51, che nell'altra
maniera di operare fu ritrovato.
E questa operazione, che sotto l'essempio delle ordinanze aviamo dichiarata,
intendasi esser la regola di uno de i capitoli di algebra, cio de i censi
eguali al numero; onde tutti i quesiti che per esso si risolvono, si
scioglieranno anco operando col nostro Strumento nella maniera gi dichiarata.



INVENZIONE DELLA MEDIA PROPORZIONALE PER VIA DELLE MEDESIME LINEE.


Operazione XIV.

Con l'aiuto di queste linee e loro divisioni potremo tra due linee, o vero due
numeri dati, trovare con gran facilit la linea o il numero medio
proporzionale in questa maniera.   Siano li due numeri, o vero le due linee
misurate proposteci, l'uno 36 e l'altro 16: e presa col compasso la lunghezza
dell'una, v. g., della 36, applicala, aprendo lo Strumento, alli punti 36
delle Linee Geometriche, e non movendo lo Strumento, prendi l'intervallo tra
li punti 16.16 delle medesime linee, il quale, misurato sopra la medesima
scala, troverai esser punti 24; quanto appunto  il numero proporzionale tra
36 e 16. E nota che, per misurar le linee proposte, potremo servirci non solo
della scala notata sopra lo Strumento, ma di qualunque altra ancora, quando
quella dello Strumento fusse troppo piccola per il nostro bisogno.
Notando in oltre, che quando le linee, ed i numeri che le misurano, tra li
quali vogliamo trovare il medio proporzionale, fussero assai grandi, s che
passassero il 50, che  il maggiore numero notato sopra le nostre Linee
Geometriche, si potr nondimeno conseguir l'intento, operando con parti de i
proposti numeri, o con altri minori di essi, ma che abbino la medesima
proporzione che hanno li primi; e la regola sar in questo modo. Vogliamo,
verbi gratia, pigliare il numero medio proporzionale fra 144 ed 81, li quali
eccedono ambidue il cinquanta. Piglisi dalle Linee Aritmetiche 144 rettamente
per applicarlo trasversalmente alle Linee Geometriche; ma perch in esse non
vi  numero cos grande, piglier imaginariamente una parte di esso numero
144, come saria, v. g., il terzo, cio 48, e l'intervallo gi preso applicher
trasversalmente alli punti 48 delle Linee Geometriche. Dipoi, imaginata la
terza parte di 81, che fu l'altro numero dato, la quale  27, piglier tal
numero pur trasversalmente dalle medesime Linee Geometriche, e questo,
misurato rettamente sopra le Aritmetiche, mi dar il medio proporzionale
ricercato, cio 108.

DELLE LINEE STEREOMETRICHE;

E PRIMA COME COL MEZO DI ESSE SI POSSIN CRESCERE O DIMINUIRE
TUTTI LI CORPI SOLIDI SIMILI SECONDO LA DATA PROPORZIONE.


Operazione XV.

Sono le presenti Linee Stereometriche cos dette per esser la lor divisione
secondo la proporzione de i corpi solidi, sino a 148; e da esse trarremo molti
usi: il primo de i quali sar il gi proposto, cio come, dato un lato di qual
si voglia corpo solido, si possa trovare il lato d'un altro, che ad esso abbia
una data proporzione. Come, per essempio  , sia la linea A diametro, v. g.,
d'una sfera, o palla, per dirlo pi vulgarmente, o vero lato d'un cubo o altro
solido, e siaci proposto di dover trovar il diametro, o lato d'un altro, che a
quello abbia la proporzione che ha 20 a 36: piglia col compasso la linea A, ed
aprendo lo Strumento, applicala al punto 36 delle Linee Stereometriche; il che
fatto, prendi immediatamente l'intervallo tra li punti 20.20, che sar la
linea B, diametro o lato del solido, all'altro, il cui lato A, nella
proporzione data di 20 a 36.



PROPOSTI DUE SOLIDI SIMILI, TROVARE QUAL PROPORZIONE ABBINO FRA DI LORO.


Operazione XVI.

Non  la presente operazione molto differente dalle dichiarate di sopra, e
puossi con gran facilit risolvere. Quando dunque ci venissero proposte le due
linee A, B  , e dimandato qual proporzione abbino fra di loro i lor solidi
simili, prenderemo una di esse col compasso; e sia, v. g., presa l'A, la quale
applicheremo, aprendo lo Strumento, a qualche numero delle presenti linee, e
sia applicata, v. g., al 50.50; e subito presa la lunghezza dell'altra linea
B, veggasi a qual numero si accomodi; e trovato adattarsi, per essempio, al
21, diremo il solido A al solido B avere la proporzione di 50 a 21.



PROPOSTI SOLIDI SIMILI QUANTI NE PIACER,
TROVARNE UN SOLO EGUALE A TUTTI QUELLI.


Operazione XVII.

Siano proposte le tre linee A, B, C, lati di tre solidi simili  ; vogliamo
trovarne uno eguale a tutti quelli. Per il che fare, prendasi con un compasso
la linea A, quale s'applichi a qualche punto delle Linee Stereometriche, e
sia, per essempio, al punto 30: e non movendo lo Strumento, considera a qual
numero s'adatti la linea B, e trovato, per essempio, adattarsi al 12, aggiugni
questo numero al numero 30 gi detto, fa 42; il qual numero terrai a memoria:
presa dipoi con un compasso la linea C, considera a qual numero delle medesime
linee s'accomodi, e sia, per essempio, al 6, e congiunto questo numero con
l'altro 42, averemo 48: s che pigliando l'intervallo tra li punti 48.48, sar
trovata la linea D, il cui solido sar eguale alli tre proposti A, B, C.



ESTRAZIONE DELLA RADICE CUBA.


Operazione XVIII.

Due modi differenti dichiareremo per l'investigazione della radice cuba di
qualunque proposto numero.
Il primo ci servir per i numeri mediocri, e l'altro per i massimi; intendendo
per numeri mediocri quelli, da i quali tratte le unit, decine e centinaia, li
numeri che restano non eccedono il 148. Per l'estrazione della radice cuba de
i quali, prima s'aggiuster lo Strumento, con l'applicare trasversalmente alli
punti 64 delle Linee Stereometriche il 40 preso rettamente dalle Linee
Aritmetiche: e fatto questo, leva le 3 ultime note dal numero proposto, e
piglia quel che resta dalle Linee Stereometriche trasversalmente, e misuralo
rettamente sopra le Aritmetiche, e quello che trovi sar la radice cuba del
numero proposto. Come, v. g., cerchiamo la radice cuba di 80216: aggiustato,
come s' detto, lo Strumento, e tolte via le tre ultime note, resta 80; piglia
dunque trasversalmente 80 dalle Linee Stereometriche, e misuralo rettamente
sopra le Aritmetiche, e troverai 43; quanta  la radice prossima del dato
numero. E nota, che quando, detratte le tre ultime note, restasse pi di 148,
che  il maggior numero delle Stereometriche, allora potrai operare per parti.
Come, per essempio, si cerca la radice cuba di 185840: e perch, detratte le
ultime 3 note 840, resta 186 (dico 186, ben che resti 185, perch le centinaia
delle tre note detratte sono pi di 5, cio pi di mezo migliaio, onde,
pigliandolo per un migliaio intero, fo che quel che resta sia 186, cio uno di
pi), che eccede il 148, piglieremo la sua met, cio 93, trasversalmente
dalle Stereometriche gi aggiustate; e questo spazio preso si dover
stereometricamente duplicare, cio applicarlo a qualche numero delle medesime
Stereometriche trasversalmente, del qual ne sia uno doppio; e questo, preso
pur trasversalmente, e misuratolo sopra la scala Aritmetica, sar la radice
che si cercava. Stando dunque nell'essempio proposto, applicheremo lo spazio,
tra li punti 93 gi preso, v. g., al 40 delle Linee Stereometriche, pigliando
poi l'80, che, misurato sopra le Linee Aritmetiche, ci mostrer 57; ch' la
prossima radice del numero proposto.
L'altro modo di operare per li numeri massimi sar con aggiustare lo Strumento
applicando la distanza di 100 punti, presa rettamente dalle Linee Aritmetiche,
al 100 delle Stereometriche trasversalmente; e sar aggiustato. Dipoi dal
proposto numero devi levare le quattro ultime note, ed il numero che resta
prendere trasversalmente da esse Linee Stereometriche, e misurarlo rettamente
sopra le Aritmetiche: come, per essempio, sendoci proposto il numero 1404988,
avendo gi aggiustato lo Strumento al modo detto, e detratte le quattro ultime
note, resta 140; il qual numero, preso trasversalmente dalle Linee
Stereometriche, e misurato rettamente sopra l'Aritmetiche, ci dar 112, radice
prossima del numero proposto. Non ci scordando, che quando le tre note
rimanenti importassero pi di 148, numero maggiore delle nostre linee, si deve
operare per parti, come nell'altra regola superiore fu avvertito.



INVENZIONE DELLE DUE MEDIE PROPORZIONALI.


Operazione XIX.

Quando ci fussero proposti due numeri, o due linee misurate, tra le quali
dovessimo trovare due altre medie proporzionali, potremo ci esseguire
facilmente col mezo delle presenti linee; e ci con questo essempio si far
chiaro.



Dove ci vengono proposte le due linee A, D, delle quali l'una sia, per
essempio, 108 e l'altra 32: e presa la maggiore con un compasso, adattisi,
aperto lo Strumento, alli numeri 108.108; e poi prendasi l'intervallo tra li
punti 32.32, il quale sar la lunghezza della seconda linea B, che, misurata
con la medesima scala con la quale furono misurate le proposte linee, si
trover esser 72; e per trovarne la terza linea C, adattisi pure di nuovo,
sopra le medesime Linee Stereometriche, la linea B alli punti 108.108, e
tornisi di nuovo a pigliare la distanza tra li punti 32.32, che tale sar la
grandezza della terza linea C; e misurata sopra la medesima scala, si trover
essere punti 48. E notisi che non  necessario il prender prima la maggior
linea pi che la minore; ma nell'uno e nell'altro modo operando, sempre si
trover l'istesso.



COME OGNI SOLIDO PARALLELEPIPEDO SI POSSA COL MEZO DELLE LINEE STEREOMETRICHE
RIDURRE IN CUBO.


Operazione XX.

Siaci proposto il solido parallelepipedo, le cui dimensioni siano diseguali,
cio 72, 32 e 84: cercasi il lato del cubo ad esso eguale. Piglia il medio
proporzionale fra 72 e 32, nel modo dichiarato di sopra nell'operazione XIV,
cio piglia 72 rettamente dalla scala Aritmetica, e buttalo trasversalmente al
72 delle Linee Geometriche; ma perch non vanno tant'oltre, buttalo alla met,
cio al 36: e subito prendi pur trasversalmente l'altro numero dalle medesime
linee, cio 32; anzi pur, per dir meglio, piglia la sua met, cio il 16
(avendo buttato il primo 72 alla sua met parimente); e questo che troverai,
sar, come  manifesto, il numero medio proporzionale tra 72 e 32: misuralo
dunque sopra le Linee Aritmetiche, e lo troverai esser 48; onde lo butterai
trasversalmente a questo medesimo numero 48 delle Linee Stereometriche; e
senza muovere poi lo Strumento, prendi pur trasversalmente il terzo numero del
solido proposto, cio l'84, e sar finita l'operazione, perch facendo questa
tal linea lato di un Cubo, quello sar veramente eguale al solido proposto; e
misurandola sopra la scala Aritmetica, la troverai esser 57 e mezo in circa.

ESPLICAZIONE DELLE LINEE METALLICHE
NOTATE APPRESSO LE STEREOMETRICHE.


Operazione XXI.

Sono le presenti linee segnate con alcune divisioni, alle quali sono aggiunti
questi caratteri: Or. Pi. Ar. Ra. Fe. St. Ma. Pie., che significano Oro,
Piombo, Argento, Rame, Ferro, Stagno, Marmo, Pietra. Dalle quali si hanno le
proporzioni e differenze di peso, che si trovano fra le materie in esse
notate: in guisa che, costituito lo Strumento in qual si voglia apertura,
gl'intervalli che cascano fra i punti l'uno all'altro corrispondenti, vengono
ad esser diametri di palle, o lati d'altri corpi tra loro simili ed eguali di
peso; cio, che tanto sar il peso di una palla d'oro il cui diametro sia
eguale alla distanza Or. Or., quanto d'una di piombo il cui diametro sia
l'intervallo tra li punti Pi. Pi., o una di marmo il cui diametro sia la
distanza tra li punti Ma. Ma.
Dal che possiamo in un istante venir in cognizione, quanto grande si doveria
far un corpo d'una delle sopranotate materie, acci fosse in peso eguale ad un
altro simile, ma di altra delle materie dette; la qual operazione
addimanderemo trasmutazione della materia. Come se, per essempio  , la linea A
fosse diametro d'una palla di stagno, e noi volessimo trovare il diametro
d'un'altra d'oro, a quella in peso eguale, prenderemo con un compasso la linea
A, e questa applicata, aprendo lo Strumento, alli punti St. St., piglieremo
immediate l'intervallo tra li punti Or. Or.; e tale sar il diametro della
palla di oro, cio la linea B, eguale all'altra di stagno. Ed il medesimo
intendasi di tutti gli altri corpi solidi, e delle altre materie notate. Ma se
congiugneremo l'uso di queste linee con quello delle precedenti, ne caveremo
molte comodit maggiori; come di sotto si dichiarer. E prima



CON LE LINEE PREDETTE POTREMO RITROVAR LA PROPORZIONE CHE HANNO IN PESO TRA DI
LORO TUTTI LI METALLI ED ALTRE MATERIE NELLE LINEE METALLICHE NOTATE.


Operazione XXII.

Vogliamo, per essempio, trovare qual proporzione abbino fra di loro in peso
questi due metalli, argento ed oro. Prendi con un compasso la distanza tra 'l
centro dello Strumento ed il punto notato Ar., e questa, aperto lo Strumento,
applica a qual pi ti piace de i numeri delle Linee Stereometriche, e sia, per
essempio, applicata alli punti 100.100; dipoi, senza punto muover lo
Strumento, piglia la distanza tra 'l centro del medesimo Strumento ed il punto
Or., e questa vedi a che numero s'accomodi sopra le Linee Stereometriche; e
trovato, per essempio, adattarsi alli punti 60.60, dirai la proporzione del
peso dell'oro a quello dell'argento esser in spezie come 100 a 60. E nota che,
nell'operare, li diametri presi ed applicati alle Linee Stereometriche ti
mostreranno la proporzione in peso de i loro metalli permutatamente, cio,
come nell'addotto essempio s' veduto, dal diametro dell'argento ti viene
denotato il peso dell'oro, e da quello dell'oro il peso dell'argento: e cos
venghiamo ad intendere come l'oro  pi grave dell'argento a ragione di 40 per
100, essendo che 40  la differenza tra li due pesi ritrovati per l'oro e per
l'argento.
Dal che possiamo venir in cognizione della resoluzione d'un quesito molto
bello: che , propostaci qual si voglia figura di una delle materie notate
nelle Linee Metalliche, trovare quanta di un'altra delle dette materie ve ne
bisogner per formarne un'altra a quella eguale; come, v. g., abbiamo una
statua di marmo; vorremmo sapere quanto argento v'anderia per farne una della
medesima grandezza. Per il che trovare, farai pesare quella di marmo, e sia il
suo peso, v. g., 25 libre; poi piglia la distanza tra 'l centro dello
Strumento ed il punto Ar., che  la materia della statua futura, e questo
applicherai, aprendo lo Strumento, alle Linee Stereometriche, ed al punto
segnato col numero del peso della statuetta, cio alli punti 25.25; e, non
movendo lo Strumento, piglierai la distanza tra 'l centro ed il punto Ma., e
questa vedrai a che numero, pur trasversalmente, delle Linee Stereometriche si
accomodi; e trovato come s'adatta alli punti 96.96, dirai 96 libre d'argento
esser necessarie per fare la statua eguale in grandezza all'altra di marmo.



CONGIUGNENDO GLI USI DELLE LINEE METALLICHE E STEREOMETRICHE,
DATI DUE LATI DI DUE SOLIDI SIMILI E DI DIVERSE MATERIE,
TROVARE QUAL PROPORZIONE ABBINO FRA DI LORO DETTI SOLIDI IN PESO.


Operazione XXIII.

 la linea A diametro d'una palla di rame, e la B diametro di una di ferro;
vorremmo sapere qual proporzione hanno fra di loro in peso.   Prendi col
compasso la linea A, ed aperto lo Strumento applicala alli punti delle Linee
Metalliche segnati Ra. Ra.; e senza alterare tal apertura prendi
immediatamente la distanza tra li punti Fe. Fe., che sar quanto la linea X:
la quale se sar eguale alla B, diremo li due solidi A, B essere di peso
eguali; ma trovata la X diseguale alla B, ed essendo diametro d'una palla di
ferro eguale in peso all'A,  manifesta cosa, che la medesima differenza sar
tra le due palle A, B che  tra l'X, B. E perch X e B sono della medesima
materia, troverassi la loro differenza facilmente con le Linee Stereometriche,
come di sopra nell'operazione XVI s' dichiarato: cio prenderemo la linea X,
e l'applicheremo, aprendo lo Strumento, a qualche numero, come, v. g., al 30;
il che fatto, si considerer a quale s'aggiusti la linea B; e trovato, per
essempio, accomodarsi al 10, diremo la palla di rame A esser tripla della di
ferro B.
Il converso della precedente operazione si potr con pari facilit con le
medesime linee ritrovare; cio, come, dato il peso ed il diametro, o lato,
d'una palla, o altro solido, di una delle materie notate sopra lo Strumento,
si possa trovare la grandezza d'un altro solido simile, e di qualunque altra
delle dette materie, e che pesi qual si voglia peso propostoci. Come, per
essempio, essendo la linea X diametro d'una palla di marmo che pesa 7 libre,
trovisi il diametro d'una di piombo che ne pesi 20. Qui si vede come doviamo
fare due operazioni: l'una, trasmutare il marmo in piombo; e l'altra, crescere
il peso di 7 sino al 20. La prima operazione si far con le Linee Metalliche,
accomodando il diametro X alli punti del marmo trasversalmente, pigliando poi,
senza muover lo Strumento, l'intervallo tra li punti del piombo, che sar la
grandezza del solido di piombo che peserebbe quanto il proposto di marmo, cio
libre 7. Ma perch volevamo libre 20, ricorreremo all'aiuto delle Linee
Stereometriche: ed applicato questo intervallo trasversalmente alli punti 7.7,
prenderemo subito la distanza, pur trasversale, tra li punti 20, che sar
eguale alla linea D; la quale senza dubio verr ad esser il lato della figura
solida di piombo, che peser libre 20.



COME QUESTE LINEE CI SERVONO PER CALIBRO DA BOMBARDIERI
ACCOMODATO UNIVERSALMENTE A TUTTE LE PALLE
DI QUAL SI VOGLIA MATERIA ED A TUTTI LI PESI.


Operazione XXIV.

Manifestissima cosa , diverso esser il peso di diverse materie, ed assai pi
grave esser il ferro della pietra, ed il piombo del ferro; dal che ne sguita,
che, dovendosi tirare con l'artigliaria tal ora palle di pietra, altre volte
di ferro, o ancora di piombo, il medesimo pezzo che porti tanto di palla di
piombo, porter meno di ferro, e molto meno di pietra, e che, per conseguenza,
diverse cariche per le diverse palle se li dovranno dare; laonde quelle
sagome, o calibri, sopra i quali fussero notati i diametri delle palle di
ferro con li pesi loro, non potranno servirci per le palle di pietra, ma
bisogner che le misure di detti diametri s'accreschino o diminuischino,
secondo le diverse materie. In oltre  manifesto che appresso diversi paesi
s'usano diversi pesi, anzi che non solamente in ogni provincia, ma quasi in
ogni citt, sono differenti: dal che ne sguita, che quel calibro, che fusse
accomodato al peso d'un luogo, non potr servirne al peso d'un altro; ma
secondo che le libre saranno maggiori o minori in uno ch'in un altro luogo,
bisogner che le divisioni del calibro ottenghino maggiori o minori
intervalli. Dal che possiamo concludere, che un calibro che si adatti ad ogni
sorte di materia e ad ogni differenza di peso bisogna che per necessit sia
mutabile, cio che si possa crescere e diminuire: e tale a punto  quello che
nel nostro Strumento vien segnato, perch, aprendo pi o meno, si crescono o
diminuiscono gl'intervalli, che tra le divisioni d'esso si ritrovano, senza
punto alterar le loro proporzioni.
Ed avendo tali cose in universale dichiarate, passeremo all'applicazione
particolare di questo calibro a tutte le differenze di pesi, ed a tutte le
materie diverse. E perch non si pu venir in cognizione d'alcuna cosa ignota
senza il mezo di qualch'altra conosciuta, fa di mestiero che ci sia noto un
solo diametro d'una palla di qual si voglia materia, e di qual si voglia peso
rispondente alle libre, che nel paese dove vogliamo usare lo Strumento si
costumano: dal qual solo diametro verremo, col mezo del nostro calibro, in
cognizione del peso di qual si voglia altra palla e di qualunque altra
materia; intendendo per delle materie sopra lo Strumento notate.
Ed il modo di conseguir tal cognizione faremo facilmente con un esempio
manifesto. Supponghiamo, v. g., esser in Venezia, e di voler quivi servirci
del nostro calibro per riconoscer la portata d'alcuni pezzi d'artigliaria;
prima procureremo d'aver il diametro ed il peso di una palla di alcuna delle
materie sopra detto Strumento segnate; e, per essempio, supporremo d'avere il
diametro d'una palla di piombo di libre 10, al peso di Venezia: il qual
diametro noteremo con due punti nella costa d'un'asta dello Strumento. Quando
dunque vorremo accomodare ed aggiustare il calibro in maniera che, presa la
bocca d'un pezzo d'artigliaria, e trasportata sopra esso calibro, conosciamo
quante libre di palla di piombo essa porti, non dovremo far altro salvo che
prender col compasso quel diametro di 10 libre di piombo, gi sopra la costa
dello Strumento segnato, ed aprir poi lo Strumento tanto che detto diametro
s'aggiusti alli punti delle Linee Stereometriche segnati 10.10: le quali, cos
aggiustate, ci serviranno per calibro esattissimo; tal che, preso il diametro
della bocca di qualsivoglia artigliaria, e trasferitolo sopra detto calibro,
dal numero de i punti, a i quali s'adatter, conosceremo quante libre di palla
di piombo porti la detta artigliaria. Ma se volessimo aggiustare lo Strumento
s che il calibro rispondesse alle palle di ferro, allora prenderemo pur
l'istesso diametro delle 10 libre di piombo sopra la costa notato, e dipoi
l'applicheremo a i punti delle Linee Metalliche segnate Pi. Pi.; e, senza
alterare lo Strumento, piglieremo con un compasso l'intervallo tra i punti
segnati Fe. Fe., il quale sar il diametro d'una palla di ferro di 10 libre; e
questo diametro, aprendo lo Strumento, s'applicher a i punti delle Linee
Stereometriche, segnati 10.10; ed allora saranno dette linee esquisitamente
accomodate per calibro delle palle di ferro. E con simile operazione si
aggiuster per le palle di pietra.
E notisi che, occorrendoci notare sopra la costa dello Strumento diversi
diametri di palle rispondenti alle libre di varii paesi, per fuggire la
confusione, noteremo sempre diametri di palle di piombo di 10 libre di peso,
li quali troveremo esser maggiori o minori secondo la diversit delle libre.
Ed il segnare tali diametri, senza obligarci a ritrovare attualmente palle di
piombo di 10 libre di peso, non ci sar difficile, per quello che di sopra
nella operazione XXIII si  insegnato: dove, dato un diametro d'una palla di
qual si voglia peso e di qualunque materia, s' veduto come si trovi il
diametro d'un'altra d'ogni altro peso e di qual si voglia altra materia,
intendendo per sempre delle materie sopra le Linee Metalliche notate; tal
che, ritrovandoci noi in qual si voglia paese, pur che troviamo una palla di
marmo, di pietra, o d'altra materia sopra lo Strumento segnata, potremo in un
subito investigare il diametro di una palla di piombo di 10 libre di peso.



COME, PROPOSTO UN CORPO DI QUAL SI VOGLIA MATERIA, POSSIAMO RITROVARE TUTTE LE
MISURE PARTICOLARI DI UNO DI ALTRA MATERIA, E CHE PESI UN DATO PESO.


Operazione XXV.

Tra gli usi che da queste medesime linee si possono cavare, uno  questo, col
quale possiamo crescere o diminuire le figure solide secondo qual si voglia
proporzione, non mutando, o vero mutando, la materia: il che dal seguente
essempio s'intender. Ci viene presentato un piccolo modello d'artigliaria
fatto, v. g., di stagno, e noi aviamo bisogno di cavare da tal modello tutte
le misure particolari per un pezzo grande fatto di rame, e che pesi, per
essempio, 5000 libre. Prima faremo pesare il piccolo modello di stagno, e sia
il suo peso libre 17. Dipoi prenderemo una delle sue misure, qual pi ci
piacer, e sia, v. g., la sua grossezza alla gioia, la quale applicheremo,
aprendo lo Strumento, alli punti St. St. delle Linee Metalliche (essendo
questa la materia del modello propostoci); e perch il pezzo grande deve farsi
di rame, prenderemo immediatamente la distanza tra li punti Ra. Ra., la quale
saria la grossezza della gioia d'una artigliaria di rame, quando quella
dovesse pesare quanto l'altra di stagno. Ma perch deve pesare libre 5000, e
non 17 come l'altra, per ricorreremo alle Linee Stereometriche, sopra le
quali applicheremo quell'intervallo pur ora preso tra li punti Ra. Ra. alli
punti segnati 17.17; e, non movendo lo Strumento, piglieremo l'intervallo de i
punti 100.100, che saria la grossezza alla gioia d'un pezzo di 100 libre di
peso. Ma noi vogliamo che sia di libre 5000; per questa distanza si deve
augumentare secondo la proporzione quinquagecupla: onde, aprendo pi lo
Strumento, la metteremo a qualche numero, del quale ve ne sia un altro 50
volte maggiore; come saria se l'applicassimo alli punti 2.2, pigliando poi
l'intervallo tra li punti 100.100, il quale senz'alcun dubbio sar la misura
della grossezza, che deve darsi alla gioia. E con tal ordine si ritroveranno
tutte le misure particolari di tutti li altri membri, come della gola, de gli
orecchioni, della culatta, etc.
N meno resteremo di ritrovare la lunghezza dell'artigliaria, ancorch non
possiamo aprire il nostro Strumento sino a tanto spazio. E per trovarla, del
piccolo modello non piglieremo l'intera lunghezza, ma solo una sua parte, come
saria l'ottava o la decima, etc.; la quale accresciuta con l'ordine pur ora
dichiarato, ci rappresenter in fine l'ottava o decima parte di tutta la
lunghezza dell'artigliaria grande.
Ma qui potria per avventura a qualch'uno nascer difficolt, se dalle nostre
Linee Metalliche, nel modo che si sono trovate le dette misure trasmutando
l'uno nell'altro metallo semplice, cos si potesse far l'istesso in una
allegazione di due metalli, come a punto quando nell'essempio sopraposto
volessimo formare il pezzo non di rame schietto, ma di metallo misto di rame e
di stagno, come anco comunemente si costuma di fare: onde noi, per intera
sodisfazione, mostreremo potersi, con l'aiuto delle medesime Linee Metalliche,
ritrovare le medesime misure in qual si voglia allegazione, non altrimente che
in un semplice metallo. E ci si far con l'aggiugner due piccolissimi punti
sopra le Linee Metalliche; dico piccolissimi, acci che ad arbitrio nostro, di
poi che ce ne saremo serviti, possiamo cancellarli: e dato, per essempio, che
il pezzo dell'artigliaria che vogliamo fare, non di rame puro, come di sopra
si suppose, ma di bronzo, dovesse esser gettato, la cui lega fusse per ogni 3
di rame uno di stagno, allora verremo con diligenza dividendo, tanto dall'una
quanto dall'altra parte, quella breve linea che  tra li punti segnati Ra. e
Sta. in quattro particelle, delle quali tre se ne lascieranno verso lo stagno
ed una sola verso il rame, e quivi si far il punto apparente: del qual punto
(segnato, come si disse, tanto nell'una quanto nell'altra Linea Metallica) ci
serviremo per la trasmutazione del metallo, non altrimenti che ci servimmo di
sopra de i punti Ra. Ra. E con simil regola si potranno, secondo l'occorrenze,
segnare nuovi punti di allegazioni di qual si voglino due metalli, e secondo
qual si voglia lega.
Ma non saria fuori di proposito e senza comodo notabile, ed in particolare
quando s'abbia da fare la trasmutazione in metallo misto ed allegato di due
altri secondo qualunque proporzione, l'avertire, che quando si sia trovata una
sola delle misure che si ricercano, con l'operare con somma esquisitezza nel
modo dichiarato di sopra, si potranno, in virt di questa unica misura
ritrovata, investigare poi tutte l'altre con l'aiuto delle Linee Aritmetiche,
con modo non molto differente da quello che nell'operazione terza fu
dichiarato. Come, per essempio  , era la linea A il diametro, o, vogliamo
dire, la grossezza alla gioia, del modello d'artigliaria propostoci; e si
trov la linea B per grossezza della gioia dell'artigliaria di libre 5000, da
farsi di metallo che tenga tre di rame e due di stagno. Dico adesso, che per
trovar tutte l'altre dimensioni che restano, ci potremo prevalere delle Linee
Aritmetiche, pigliando la linea B ed applicandola per traverso a che punto ci
piace di esse Linee Aritmetiche, e quanto maggior numero piglieremo, meglio
sar; laonde l'applicheremo, v. g., all'ultimo punto, cio al 250: e non
movendo lo Strumento, vederemo a qual punto s'accomodi, pur trasversalmente,
la linea A, che sia, v. g., al 44; dal che vegniamo in cognizione, come,
essendo la misura A del modello punti 44, quella che gli ha da rispondere del
pezzo reale deve essere 250 de i medesimi punti. E questa medesima proporzione
ha da esser osservata in ciascheduna altra misura: onde per trovare, per
essempio, la grossezza del pezzo reale nella gola, prenderai tal grossezza dal
piccolo modello, ed applicala trasversalmente alli punti 44 delle Linee
Aritmetiche, prendendo poi, pur trasversalmente, la distanza fra li punti che
sar la grossezza della gola dell'artigliaria grande. E col medesimo ordine si
troveranno tutte l'altre misure.
In oltre per trovare facilissimamente e con somma esquisitezza la linea B
prima, che risponda al punto della lega delli due metalli assegnati, si potr
proceder cos  : ritrovando prima separatamente le due misure semplici, che
respondino l'una allo stagno e l'altra al rame, come le due linee CD, CE,
delle quali CD sia la misura rispondente al rame puro, e la CE al puro stagno,
s che la differenza loro sia la linea DE, la quale si divider secondo la
proporzione assegnata per la lega: come, volendo 3 di rame e 2 di stagno, si
taglier la linea DE nel punto F, in maniera che la FE verso lo stagno sia 3
parti, e la FD verso il rame parti 2; che si far col dividere tutta la DE in
cinque parti, lasciandone 3 verso E e 2 verso D: e la linea CF sar la nostra
principale, qual fu poco di sopra la linea B; secondo la ragion della quale,
col semplice mezo delle Linee Aritmetiche, si troveranno tutte l'altre misure,
senza pi ricorrere ad altre Linee Metalliche o Stereometriche, nel modo che
si  insegnato nella terza operazione.

DELLE LINEE POLIGRAFICHE,

E COME CON ESSE POSSIAMO DESCRIVERE I POLIGONI REGOLARI,
CIO LE FIGURE DI MOLTI LATI ED ANGOLI EGUALI.


Operazione XXVI.

Volgendo lo Strumento dall'altra parte, ci si rappresentano le linee pi
interiori, nominate Poligrafiche dal loro uso principale, che  di descrivere
sopra una linea proposta figure di quanti lati ed angoli eguali ci verr
ordinato. E questo facilmente conseguiremo pigliando con un compasso la
lunghezza della linea data, la quale si adatter alli punti segnati 6.6;
dipoi, senza muover lo Strumento, piglieremo l'intervallo tra i punti notati
col numero che numera i lati della figura che descrivere vogliamo: come, v.
g., per descrivere una figura di 7 lati, prenderemo l'intervallo tra li punti
7.7, il quale sar il semidiametro del cerchio che comprender l'eptagono da
descriversi; s che, posta un'asta del compasso ora sopra l'uno ed ora sopra
l'altro termine della linea data, faremo sopra di essa un poco
d'intersecazione con l'altra, e quivi fatto centro, descriveremo con l'istessa
apertura un cerchio occulto, il quale, passando per i termini della data
linea, la ricever 7 volte a punto nella sua circonferenza; onde l'eptagono ne
venga descritto.



DIVISIONE DELLA CIRCONFERENZA DEL CERCHIO IN QUANTE PARTI CI PIACER.


Operazione XXVII.

Con queste linee si divider la circonferenza in molte parti, operando per il
converso della precedente operazione, pigliando il semidiametro del cerchio
dato, ed applicandolo al numero delle parti nelle quali si ha da dividere il
cerchio, pigliando poi sempre l'intervallo de i punti 6.6, il quale divider
la circonferenza nelle parti che si volevano.

ESPLICAZIONE DELLE LINEE TETRAGONICHE,

E COME COL MEZO D'ESSE SI QUADRI IL CERCHIO ED OGNI ALTRA FIGURA REGOLARE,
E PI COME SI TRASMUTINO TUTTE L'UNA NELL'ALTRA.


Operazione XXVIII.

Sono queste Linee Tetragoniche cos dette dal loro uso principale, che  di
quadrare tutte le superficie regolari, ed il cerchio appresso; e ci si fa con
facilissima operazione. Imper che, volendo costituire un quadrato eguale a un
dato cerchio, altro non doviamo fare salvo che prendere con un compasso il suo
semidiametro, ed a questo, aprendo lo Strumento, aggiustare li due punti delle
Linee Tetragoniche segnati con li due piccoli cerchietti; e non movendo lo
Stromento, se si prender col compasso l'intervallo tra i punti delle medesime
linee segnate 4.4, si aver il lato del quadrato eguale al dato cerchio. E non
altrimenti, quando volessimo il lato del pentagono, o dello esagono, eguali al
medesimo cerchio, si prender la distanza tra i punti 5.5, o quella tra i
punti 6.6; che tali sono i lati del pentagono, o dell'esagono, eguali al
medesimo cerchio.
In oltre, quando volessimo per il converso, dato un quadrato o altro poligono
regolare, trovar un cerchio ad esso eguale, preso un lato dal detto poligono,
ed accomodatolo al punto delle Linee Tetragoniche rispondente al numero de i
lati della figura proposta, si prender, senza movere lo Strumento, la
distanza tra le note del cerchio; la quale, fatta semidiametro, descriver il
cerchio eguale al dato poligono. Ed in conclusione, con quest'ordine potrassi
ritrovare il lato di qual si voglia figura regolare, eguale a qualunque altra
propostaci. Come, v. g., dovendo noi costituire un ottangolo eguale a un dato
pentagono, s'aggiuster lo Strumento s che il lato del pentagono proposto
s'accomodi alli punti 5.5; e non mutando lo Strumento, l'intervallo fra li
punti 8.8 sar il lato dell'ottangolo, che si cercava.



COME PROPOSTE DIVERSE FIGURE REGOLARI, BEN CHE TRA DI LORO DISSIMILI,
SE NE POSSA COSTITUIRE UNA SOLA EGUALE A TUTTE QUELLE.


Operazione XXIX.

La resoluzione del presente problema depende dalla precedente operazione e
dalla X di sopra dichiarata. Per ci che essendoci, v. g., proposte queste
figure, un cerchio, un triangolo, un pentagono, ed un exagono, ed imposto che
troviamo un quadrato eguale a tutte le dette figure, prima, per l'operazione
precedente, troveremo separatamente 4 quadrati eguali alle 4 dette figure;
dipoi, col mezo dell'operazione X, troveremo un solo quadrato eguale a quelli
4, il quale senz'alcun dubio sar eguale alle 4 figure proposte.



COME SI POSSA COSTITUIRE QUAL SI VOGLIA FIGURA REGOLARE EGUALE AD OGN'ALTRA
IRREGOLARE, MA RETTILINEA, FIGURA PROPOSTA.


Operazione XXX.

La presente operazione  non meno utile che curiosa, insegnandoci il modo, non
pure di riquadrare tutte le superficie irregolari, ma di ridurle o in cerchio
o in qual si voglia altra figura regolare. E perch ogni rettilineo si risolve
in triangoli, quando noi sapremo costituire un quadrato eguale a qual si
voglia triangolo, costituendo noi separatamente quadrati particolari eguali a
ciaschedun triangolo ne i quali il rettilineo dato si risolve, e poi, con
l'operazione X riducendo tutti questi quadrati in un solo, sar, come 
manifesto, ritrovato il quadrato eguale al proposto rettilineo; il qual
quadrato col mezo delle Linee Tetragoniche potremo ad arbitrio nostro
convertire in un cerchio, in un pentagono, o in altra figura rettilinea
regolare. Si  dunque la resoluzione del presente quesito ridotta a dover noi
trovare un quadrato eguale a qual si voglia triangolo proposto; il che con
modo facilissimo si aver dal lemma seguente.



LEMMA PER LE COSE DETTE DI SOPRA.


Operazione XXXI.

Siaci dunque proposto di dover costituire un quadrato eguale al dato triangolo
ABC  . Pongansi da parte due linee ad angoli retti DE, FG: dipoi con un
compasso da quattro punte, che da una parte apra il doppio dell'altra, fermata
nell'angolo A una delle maggiori aste, slarghisi l'altra sin che, girata
intorno, rada la linea opposta BC; dipoi voltando il compasso, notisi con le
aste pi brevi la distanza FH, che sar la met della perpendicolare cadente
dall'angolo A sopra il lato opposto BC. Il che fatto, prendasi pure con le
maggiori aste la linea BC, la quale si trasporti in FI; e fermata una delle
maggiori aste nel punto I, slarghisi l'altra sino al punto H; e volgendo il
compasso, senza stringerlo o allargarlo, segnisi con le punte della met la
distanza IK; e fermata una di queste punte in K, taglisi con l'altra la
perpendicolare FG nel punto L: ed averemo la linea LF, lato del quadrato
eguale al triangolo ABC.
Ma notisi che, se bene aviamo messa questa operazione fatta linealmente senza
lo Strumento, non  per che sopra lo Strumento ancora non si possa
facilissimamente ritrovare. Imper che, quando vorremo ridurre qualunque
triangolo in quadrato, come, per essempio  , il triangolo ABC, allora, presa
dall'angolo A la perpendicolare cadente sopra il lato opposto BC,
considereremo sopra la scala Aritmetica quanti punti contenga, e trovato
contenerne, v. g., 45, applicheremo questa distanza trasversalmente al 45
dalle Linee Geometriche; pigliando poi la met della linea BC, considereremo
parimente quanti punti della medesima scala Aritmetica essa comprenda, e
trovato contenerne, per essempio, 37, piglieremo trasversalmente dalle Linee
Geometriche la distanza tra essi punti 37; la quale ci dar la linea LF, il
cui quadrato sar eguale al triangolo ABC.

DELLE LINEE AGGIUNTE PER LA QUADRATURA DELLE PARTI DEL CERCHIO E DELLE FIGURE
CONTENUTE DA PARTI DI CIRCUNFERENZE O
DA LINEE RETTE E CURVE INSIEME.


Operazione XXXII.

Restano finalmente le due Linee Aggiunte, cos dette perch aggiungono alle
Linee Tetragoniche quello che in esse potria desiderarsi, cio il modo di
riquadrare le porzioni del cerchio e le altre figure che nel titolo si sono
dette e pi distintamente di sotto si esplicheranno. Sono queste linee segnate
con due ordini di numeri, de i quali lo esteriore comincia dal punto segnato
con questa nota  , seguitando poi li numeri 1, 2, 3, 4, sino in 18; l'altro
ordine interiore comincia da questo segno   , seguitando poi 1, 2, 3, 4, etc.,
pur sino a 18: col mezo delle quali linee potremo primamente riquadrare qual
si voglia porzione di cerchio propostaci, la quale per non sia maggior di
mezo cerchio. E l'uso, acci meglio s'intenda, con l'essempio s'esplicher.
 Vogliamo, v. g., trovare il quadrato eguale alla porzione del cerchio ABC.
Dividasi la sua corda AC nel mezo, nel punto D, e presa con un compasso la
distanza AD, s'accomodi, aprendo lo strumento, alli punti segnati  ; e
lasciato lo strumento in tale stato, prendasi l'altezza della porzione, cio
la linea DB, e veggasi a quale de i punti dell'ordine esteriore tale altezza
s'accomodi, che sia, per essempio, alli punti segnati 2.2: il che fatto,
doviamo con un compasso prender subito l'intervallo tra li punti 2.2
dell'ordine interiore, e sopra una linea di questa grandezza si deve formare
il quadrato; che sar eguale alla porzione ABC. E quando avessimo una
superficie contenuta da due porzioni di cerchio simile alla presente figura
ABCD, potremo facilmente ridurla in quadrato tirando la corda AC, dalla quale
essa figura in due porzioni di cerchio vien divisa; dipoi, per la regola posta
di sopra, si troveranno due quadrati eguali alle due porzioni separate, e
questi, con l'intervento dell'operazione X, si ridurranno in un solo: e sar
tutto il fatto.
E con non dissimile operazione potrassi riquadrare ancora il settore del
cerchio: perch tirata la corda sotto la sua circonferenza sar tagliato in
una porzione di cerchio ed in un triangolo; le quali due parti, per le cose di
sopra insegnate, potranno facilmente ridursi in due quadrati, e quelli poi in
un solo.
Resta finalmente che mostriamo come le medesime linee ci possin servire per
quadrare la porzione maggiore di mezo cerchio, il trapezio contenuto da due
rette e due curve, simile a quello della figura appresso ABCD, e la lunula
simile alla X  ; le quali tutte operazioni hanno la medesima resoluzione. Per
ci che, quanto alla porzione maggiore del cerchio, se noi quadreremo la
rimanente porzione minore, al modo di sopra insegnato, e tale quadrato
caveremo dal quadrato eguale a tutto 'l cerchio, il quadrato eguale al
rimanente sar ancora, com' manifesto, egual alla maggior porzione del
cerchio. Parimente, di tutta la porzione BAFDC trovatone il quadrato eguale, e
da esso trattone il quadrato eguale alla porzione AFD, il quadrato rimanente
paregger il trapezio. E similmente procedendo nella lunula X, tirata la
comune corda delle due porzioni di cerchio, si prenderanno separatamente i
quadrati ad esse porzioni eguali; la differenza de i quali sar il quadrato
eguale alla lunula. Come poi delli due quadrati proposti si possa trovare la
differenza ridotta in un altro quadrato, si  di sopra, nell'operazione XI,
con l'intervento delle Linee Geometriche, dichiarato.

DELLE OPERAZIONI DEL QUADRANTE


Aggiugnendo allo Strumento il Quadrante, nella sua minore circonferenza
abbiamo la Squadra da bombardieri, divise, secondo il solito, in punti 12.
L'uso ordinario della quale  che si metta una sua costa nel vacuo del pezzo,
avendo prima sospeso il filo col perpendicolo dal centro dello Strumento; il
qual filo ci mostrer, segando detta circonferenza, quanta elevazione abbia il
pezzo, cio se 1 punto, o 2, o 3.
E perch l'usar la Squadra in questa maniera non  senza pericolo, dovendo,
con l'uscir fuori de i gabbioni o ripari, scoprirci alla vista dell'inimico,
per ci s' pensato un altro modo di far l'istesso con sicurt, cio con
l'applicare la Squadra presso al focone del pezzo. Ma perch l'anima di dentro
non  parallela con la superficie di fuori, essendo il metallo pi grosso
verso la culatta, bisogna supplire a tal difetto con l'allungare quell'asta
della Squadra che riguarda verso la gioia, aggiugnendovi la sua zanca mobile:
il che si far aggiustando prima una sol volta il pezzo a livello, e poi,
posando verso il focone la Squadra, con la zanca allungheremo il piede
anteriore, sin che il perpendicolo seghi il punto 6, e fermata la zanca con la
sua vite, segneremo una lineetta sopra la costa dello Strumento, dove viene a
terminar la cassella della detta zanca, acci in ogni occasione la possiamo
mettere a segno. E poi se vorremo dar un punto d'elevazione, bisogner alzar
il pezzo tanto che il filo seghi il numero 7; se vorremo 2 punti, dover segar
l'8, etc.

La divisione che segue appresso  il Quadrante astronomico: l'uso del quale,
essendo stato trattato da altri, non sar qui dichiarato altrimente.

L'altra circonferenza che segue appresso, e che si vede divisa da alcune linee
trasversali,  per prender l'inclinazione della scarpa di tutte le muraglie,
cominciando da quelle che avranno per ogni 10 d'altezza uno di pendenza, sino
quelle che abbino uno di pendenza per ogn'un e mezo d'altezza.
Volendo servirci di tale Strumento, doviamo sospender il filo da quel piccolo
foro che si vede al principio della Squadra da bombardieri; dipoi,
accostandoci alla muraglia pendente, gli applicheremo sopra la costa opposta
dello Strumento, avvertendo dove taglier il filo: perch, segando, per
essempio, il numero 5, diremo quella tal muraglia aver per ogni 5 braccia
d'altezza 1 di pendenza; similmente, tagliando il numero 4, diremo aver 1 di
pendenza per ogni 4 d'altezza.

DIVERSI MODI PER MISURAR CON LA VISTA;

E PRIMA, DELLE ALTEZZE PERPENDICOLARI,
ALLA RADICE DELLE QUALI SI POSSA ACCOSTARE E DISCOSTARE.


L'ultima circonferenza, divisa in 200 parti,  una scala per misurar altezze,
distanze e profondit col mezo della vista. E prima, cominciando dall'altezze,
mostreremo diverse maniere di misurarle, facendo principio dall'altezze
perpendicolari, alla radice delle quali ci possiamo accostare. Come saria se
volessimo misurar l'altezza della torre AB  : venendo nel punto B, ci
discosteremo verso C, caminando 100 passi o 100 altre misure, e fermatici nel
luogo C, traguarderemo con una costa dello Strumento l'altezza A, come si vede
secondo la costa CDA, notando i punti tagliati dal filo DI; i quali se saranno
nel centinaio opposto all'occhio, come si vede nell'essempio proposto per
l'arco I, quanti saranno detti punti, tanti passi (o altre delle misure che
aremo misurate in terra) diremo contenere l'altezza AB. Ma se il filo taglier
l'altro centinaio, come si vede nella seguente figura  , volendo misurar
l'altezza GH, sendo l'occhio in I, dove il filo taglia i punti MO, allora,
preso il numero di detti punti, divideremo per esso il numero 10000, e
l'avvenimento sar il numero delle misure che nell'altezza GH si conterranno:
come, v. g., se il filo avesse tagliato il punto 50, dividendo 10000 per 50,
aremo 200; e tante saranno le misure dell'altezza GH.
E perch aviamo veduto che alle volte il filo segher il centinaio opposto
alla costa per la quale si traguarda, e tal volta ancora taglier il centinaio
contiguo a detta costa, e questo potr avvenire in molte delle operazioni
seguenti, per per regola universale s'avvertir sempre, che quando il filo
taglier il primo centinaio contiguo a detta costa, si deve dividere 10000 per
il numero tagliato dal filo, seguendo poi nel resto dell'operazione la regola
che sar scritta: per che noi ne gli essempi seguenti supporremo sempre che il
filo tagli l'altro centinaio.
Ma acci che tanto pi si scorga la moltitudine de gli usi di questo nostro
Strumento, voglio che i computi pi laboriosi, che nelle regole per misurar
con la vista ci occorreranno, siano senza fatica alcuna e con somma brevit
ritrovati col mezo del compasso sopra le Linee Aritmetiche. E facendo
principio dalla presente operazione, per quelli che non sapessero partire
10000 per quel numero tagliato dal perpendicolo, dico che si pigli rettamente
sempre 100 dalle Linee Aritmetiche, e che trasversalmente s'accomodi al numero
de i punti tagliati da esso perpendicolo, pigliando poi, pur trasversalmente,
senza muover lo Strumento, la distanza tra i punti 100; la quale, misurata
rettamente, ci dar l'altezza cercata. Come, v. g., se il filo avesse tagliato
a 77, pigliando dalle Linee Aritmetiche 100 rettamente, applicalo
trasversalmente al 77, e subito prendi, pur trasversalmente, l'intervallo tra
i punti 100, e torna a misurarlo rettamente, e troverai contenere punti 130; e
tante misure dirai contenersi nell'altezza che misurar volevamo.
In altra maniera potremo misurar una simil altezza, senza obligarci a misurar
in terra le 100 misure, nel modo che si far manifesto. Come se, per essempio
, volessimo dal punto C misurar l'altezza della torre AB, drizzando la costa
dello Strumento CDE alla sommit A, noteremo li punti tagliati dal filo EI,
quali siano, per essempio, 80; dipoi, senza muoverci di luogo, abbassando
solamente lo Strumento, traguarderemo qualche segno pi basso che sia posto
nella medesima torre, come saria il punto F, notando il numero de i punti
tagliati dal filo, il quale sia, v. g., 5; veggasi poi quante volte questo
minor numero 5 sia contenuto nell'altro 80 (che  16 volte): e 16 volte diremo
la distanza FB esser contenuta in tutta l'altezza BA. E perch il punto F 
basso, potremo tale altezza FB con un'asta o altro facilmente misurare, e cos
venir in cognizione dell'altezza BA. Avvertendo che, nel misurar l'altezze,
noi ritroviamo e misuriamo solamente l'altezze sopra l'orizonte del
nostr'occhio; tal che quando detto occhio sar pi alto della radice o base
della cosa misurata, bisogner aggiugner all'altezza trovata per via dello
Strumento, quel tanto di pi che l'occhio sopravanza detta radice.
Il terzo modo di misurar una simile altezza sar con l'alzarci ed abbassarci.
Come  , volendo misurar l'altezza AB, costituendo lo Strumento in qualche
luogo elevato da terra, come saria nel punto F, traguarderemo secondo la costa
EF il punto A, notando i punti G, I tagliati dal filo, quali siano, per
essempio, 65; dipoi, scendendo al basso, e venendo perpendicolarmente sotto 'l
punto F, come saria nel punto C, traguarderemo la medesim'altezza secondo la
costa DC, notando i punti L, O, quali saranno pi de gli altri, come, v. g.,
70; dipoi prendasi la differenza tra questi due numeri 65 e 70, che  5; e
quante volte essa  contenuta nel maggior de i detti numeri, cio in 70 (che
vi sar contenuta 14 volte), tante volte diremo l'altezza BA contenere la
distanza CF: la quale misureremo, potendolo noi fare comodamente, e cos
verremo in cognizione di tutta l'altezza AB.
E volendo noi misurar un'altezza la cui radice non si vedesse, come saria
l'altezza del monte AB  , sendo nel punto C, traguarderemo la sommit A,
notando i punti I tagliati dal perpendicolo DI, i quali siano, per essempio,
20; di poi, accostandoci verso il monte 100 passi innanzi, venendo nel punto
E, traguarderemo l'istessa sommit, notando i punti F, i quali siano 22: il
che fatto devonsi multiplicare tra loro questi due numeri 20 e 22; fanno 440:
e questo si divida per la differenza delli medesimi numeri, cio per 2; ne
viene 220: e tanti passi diremo esser alto il monte.
Il computo si trover sopra lo Strumento, pigliando il minor numero de i punti
tagliati rettamente sopra le Linee Aritmetiche, ed applicandolo poi
trasversalmente alla differenza delli due numeri de i punti, pigliando in
oltre trasversalmente l'altro numero de i punti, il quale, misurato
rettamente, ci dar l'altezza cercata. Come se, per essempio, i punti tagliati
fussero stati 42 e 58, preso 42 rettamente, buttisi trasversalmente alla
differenza de i detti numeri, cio al 16, o, non potendo, al suo doppio,
triplo, quadruplo, etc.; sia al quadruplo, che  64: e preso poi il 58, o il
suo quadruplo, cio 232, e misurato rettamente, ci dar 152 e un quarto, che 
il proposito.
Possiamo in oltre col medesimo Strumento misurare un'altezza posta sopra
un'altra; come se volessimo misurare l'altezza della torre AB, posta sopra 'l
monte BC.   Prima, sendo nel punto D, traguarderemo la sommit della torre A,
notando i punti tagliati dal filo EI, li quali siano, v. grat., 18; poi,
lasciando un'asta piantata nel punto D, venghiamo avanti sin tanto che,
traguardando la base della torre, cio il punto B, il perpendicolo GO tagli il
medesimo numero 18, il che sia quando saremo venuti al punto F; dipoi
misurinsi i passi tra le due stazioni D, F, quali siano, per essempio, 130: e
questo numero si multiplichi per i 18 punti; ne verr 2340: il qual numero si
divida per 100; ne viene 23 e due quinti: e tanti passi sar alta la torre AB.
Il computo sopra lo Strumento si far col pigliar rettamente il numero de i
passi, o quello de i punti, applicandolo poi trasversalmente al 100, prendendo
poi l'altro pur trasversalmente, e misurandolo rettamente. Come se, v. g., i
punti fossero stati 64 ed i passi 146, preso 64 rettamente, ed applicatolo
trasversalmente al 100, e preso poi trasversalmente 146, e misuratolo
rettamente, ci dar 93 e mezo in circa; quanta  l'altezza che si cercava.
Quanto alle profondit, due modi averemo per misurarle. Ed il primo sar per
misurar la profondit contenuta tra le linee parallele, come saria la
profondit d'un pozzo, o vero l'altezza d'una torre, quando noi fussimo sopra
di essa. Come, per essempio

, sia un pozzo ABDC, contenuto tra le linee parallele AC, DB: e voltando
l'angolo dello Strumento verso l'occhio E, si traguardi secondo la costa EF,
in maniera che il raggio della vista passi per li punti B, C, notando il
numero tagliato dal filo, il quale sia, verbi gratia, 5; e poi si consideri
quante volte questo numero 5 entra in 100: e tante volte diremo la larghezza
BA esser contenuta nella profondit BD.
L'altro modo sar per misurar una profondit della quale non si vedesse la
radice; come se fussimo sopra 'l monte BA, e volessimo misurar la su' altezza
sopra 'l piano della campagna. In tal caso alziamoci sopra 'l monte, salendo
sopra qualche casa, torre o albero, come si vede nella presente figura  , e
constituendo l'occhio nel punto F, traguarderemo qualche segno posto nella
campagna, come si vede per il punto C, notando i punti tagliati dal filo FG,
che siano, v. g., 32; dipoi, scendendo nel punto D, traguardisi il medesimo
segno C con la costa DE, notando parimenti i punti A, I che siano 30; e presa
la differenza di questi due numeri, cio 2, veggasi quante volte entra nel
minor delli due numeri; e veduto che vi entra 15 volte, diremo l'altezza del
monte essere 15 volte pi dell'altezza FD: la quale, potendola noi misurare,
ci far venire in notizia di quanto cercavamo.
Passando al misurar le distanze, come saria una larghezza di un fiume, venendo
sopra la ripa o altro luogo eminente, s come nell'essempio si vede  ; nel
qual, volendo noi misurar la larghezza CB, venendo nel punto A, traguarderemo
con la costa AF l'estremit B, notando i punti D, E tagliati dal perpendicolo,
quali siano, verbi gratia, 5; e quante volte questo numero entra in 100, tante
volte diremo l'altezza AC entrare nella larghezza CB: misurando dunque quanta
sia tale altezza AC, e pigliandola 20 volte, averemo la larghezza cercata.
Possiamo in altro modo misurare una simile distanza. Come, per essempio  ,
sendo noi nel punto A, vogliamo trovare la distanza sino al punto B:
costituiscasi lo Strumento in piano, ed una delle sue coste sia drizzata verso
il punto B, e secondo la dirittura dell'altra costa traguardisi verso il punto
C, misurando verso la dirittura AC 100 passi o altre misure, e lascisi
piantata nel punto A un'asta, ed un'altra si ponga nel punto C; dipoi, venendo
nel punto C, si dirizzi una costa dello Strumento verso A, e per l'angolo C si
traguardi il medesimo segno B, notando sopra il Quadrante qual punto venga
segato dal raggio della vista, che sia il punto E; e preso tal numero,
dividasi per esso 10000: e quello che ne verr, sar il numero de i passi o
altre misure, che saranno tra il punto A ed il segno B.
Ma quando non ci fusse permesso di poter moverci le 100 misure sopra una linea
che facesse angolo retto col primo traguardo, in tal caso procederemo
altrimenti. Come, v. g.  , essendo noi nel punto A, e volendo pigliare la
distanza AB, n potendo caminare per altra strada che per la AE, la quale con
la dirittura AB fa angolo acuto, per conseguire ad ogni modo il nostro
intento, aggiusteremo una costa dello Strumento prima alla strada, come si
vede per la linea AF, e senza mover lo Strumento, traguarderemo per l'angolo A
il punto B, notando i punti tagliati dal raggio AD, quali siano, per essempio,
60; dipoi, lasciando nel punto A un'asta, ne faremo mettere sopra la linea AE
un'altra lontana 100 passi, quale sia nel punto F, dove costituiremo l'angolo
dello Strumento, aggiustando la costa EF all'asta A, e per l'angolo F
traguarderemo il medesimo segno B, notando i punti G, I, quali siano, v. gra.,
48. Volendo dunque da questi numeri 60 e 48 trovare la lontananza AB,
multiplica il primo in se stesso; fa 3600; aggiugnili poi 10000; fa 13600: e
di questo numero piglia la radice quadrata; sar 117 in circa: e questa
multiplica per 100; fa 11700; e finalmente dividi questo numero per la
differenza delli due primi numeri 60 e 48, cio per 12; ne verr 975: e tanti
passi senz'alcun dubio sar la distanza AB.
Troverassi la calculazione di questa operazione sopra lo Strumento come nel
sottoposto essempio s'espone. Siano, v. g., i punti tagliati da i due raggi,
l'uno 74 e l'altro 36: e per trovare detto computo, aggiusta prima lo
Strumento s che le Linee Aritmetiche siano tra di loro ad angoli retti; il
che farai col prendere 100 punti rettamente da esse, e questi applicare col
compasso alle medesime trasversalmente, in maniera che, posta una delle aste
nel punto 80, l'altra caschi nel 60 (e questa regola d'aggiustare le dette
linee a squadra si tenga a memoria per altri bisogni): fatto questo, prendi la
distanza trasversale tra 'l punto 100 ed il maggiore de i due numeri tagliati
da i raggi, che qui  74; la qual distanza presa devi aggiustare
trasversalmente alla differenza de i due numeri de i punti tagliati da i
raggi, che qui  38; e se non potessi per la piccolezza di questo numero,
serviti del suo doppio, triplo o quadruplo; e qui, per essempio, applicala al
suo triplo, che  114: ed immediatamente piglia la distanza pur trasversale
tra li punti 100; la quale misurata rettamente, e presa una, due, tre o
quattro volte, ti dar la distanza cercata. Misurala dunque nel presente
essempio, e troveraila 109: s che triplicata ti dar 327, quanta
prossimamente  la distanza che misurar volevamo.
Sguita che veggiamo il modo di misurar l'intervallo tra due luoghi da noi
lontani: e prima diremo del modo quando da qualche sito potessimo vederli
ambidue per la medesima linea retta. Come mostra il presente essempio  : nel
quale volendo noi misurar l'intervallo tra i punti B, A, stando nel punto C,
di dove appariscono per la medesima linea CBA, prima, aggiustata un'asta dello
Strumento a tale dirittura, si traguarder per l'altro verso D, dove
pianteremo un'asta lontana dal punto C 100 misure, avendone una simile
piantata nel punto C; e venendo al luogo D, aggiusteremo una costa dello
Strumento alla dirittura DC, traguardando per l'angolo D li due luoghi B, A, e
notando i numeri tagliati da' raggi, che siano, per essempio, 25 e 20; per i
quali due numeri si deve dividere 10000: e la differenza delli due avvenimenti
sar la distanza BA.
Ma se volendo noi misurar la distanza tra i due luoghi C, D, non potessimo
venir in sito tale che l'uno e l'altro ci apparisse per la medesima dirittura,
in questo caso procederemo come appresso si dir. Sia dunque che, stando noi
nel luogo A  , vogliamo investigare la lontananza tra i due luoghi C, D.
Prima, aggiustata una costa dello Strumento al punto C, come si vede per la
linea AEC, traguardisi per l'angolo l'altro punto D, notando i punti E, F
tagliati dal raggio AFD, che siano, v. g., 20; e senza muover lo Strumento, si
traguardi per l'altra costa verso 'l punto B, lasciando in A un'asta, ed
un'altra facendone porre sopra la dirittura AB: di poi, caminando per tale
dirittura, verremo in B, discostandoci dall'altr'asta tanto che, ricostituita
una costa dello Strumento sopra la linea BA, l'altra costa ferisca il punto D,
come apparisce per la linea BD; e dall'angolo B traguarderemo il punto C,
notando il numero tagliato dal raggio BG, che sia, v. g., 15: finalmente si
misureranno i passi tra le due stazioni A, B, quali siano, per essempio, 160.
E venendo all'operazione aritmetica, prima si multiplicher il numero de i
passi tra le due stazioni, cio 160 per 100; fa 16000: e questo si deve
divider per i 2 numeri de i punti separatamente, cio per 20 e per 15; e ne
verranno i due numeri 800 e 1067: de i quali se ne deve pigliar la differenza,
che  267: e questa si deve multiplicar in se stessa; fa 71289: e questo
numero si deve aggiugnere al quadrato del numero de i passi, cio di 160, che
 25600; ed in tutto far 96889: del qual numero si deve prendere la radice
quadrata, che  311: e tanti passi diremo essere tra li due luoghi C, D.
Come poi si possa ritrovare il computo sopra lo Strumento, faremo col
sottoposto essempio manifesto. Siano, v. g., li due numeri tagliati da i raggi
60 e 34, ed il numero de' passi 116. E venendo all'operazione, prendi sempre
100 dalle Linee Aritmetiche rettamente, ed applicalo trasversalmente al
maggior numero de i due tagliati da i raggi, che qui  60; e subito prendi pur
trasversalmente il numero de i passi, che qui  116, e questo intervallo
accomoderai trasversalmente all'altro numero de i raggi, che qui  34; e se
non puoi, applicalo al suo doppio, triplo, quadruplo, o quello che pi ti
torner comodo: sia per ora al suo quadruplo, cio al 136. Il che fatto,
prendi trasversalmente il numero che  la differenza tra li due numeri de i
raggi, che qui  26; o pure piglia il suo doppio, triplo o quadruplo, secondo
che poco fa si fece l'applicazione; onde in questo caso devi pigliare il suo
quadruplo, cio 104: e questa distanza misurerai rettamente, salvando in
memoria il numero che essa conterr, che nel presente essempio sar 148.
Aggiusta finalmente le Linee Aritmetiche a squadra al modo di sopra
dichiarato: il che fatto, piglia trasversalmente l'intervallo tra 'l numero
che salvasti in memoria ed il numero de i passi, cio tra 'l 148 da una parte
ed il 116 dall'altra; e questo misura rettamente, e troverai 188: quanta a
punto  la distanza cercata DC.
E finalmente, quando noi non potessimo moverci nella maniera che ricerca la
passata operazione, potremo pure nondimeno trovare la lontananza tra due
luoghi da noi distanti in altra maniera: ed il modo sar tale. Sendo noi, per
essempio, nel punto C  , e volendo ritrovar la distanza tra i due luoghi A, B,
prima, secondo alcuno de i modi dichiarati di sopra, misuriamo separatamente
le distanze tra 'l punto C e l'A, e l'altra tra l'istesso C ed il punto B, e
sia, per essempio, la prima passi 850, e l'altra 530; e venendo nel segno C,
aggiustando una costa dello Strumento al punto A, come si vede per la linea
CDA, traguardisi per l'angolo C l'altro termine B, notando il numero de i
punti D, E tagliati dal raggio, che siano, v. g., 15. Multiplica poi questo
numero in se stesso; fa 225: ed a questo aggiugni 10000; fa 10225: del quale
prendi la radice quadrata, che  101: multiplica poi la minor distanza, cio
530, per 100; fa 53000: il quale si divida per la radice pur ora trovata; ne
viene 525: e questo multiplica per la maggior distanza, cio per 850; fa
446250: il qual numero deve esser finalmente duplicato; fa 892500: dipoi
devonsi multiplicar separatamente le due distanze ciascuna in se stessa; fanno
722500, e 280900: e questi numeri si devono congiugnere insieme; fanno
1003400: del qual numero si caver quel duplicato di sopra, cio 892500;
rester 110900: la cui radice, che  347, sar la distanza desiderata tra gli
due luoghi A, B.
Con notabil diminuzione di fatica potremo fare il computo presente sopra le
Linee Aritmetiche; ed il modo si far con un essempio manifesto. Pongasi che
la maggior distanza sia stata passi 230, e la minore 104, ed il numero de i
punti tagliati dal raggio 58. Metti le Linee Aritmetiche a squadra, e posta
un'asta del compasso nel punto 100, slarga l'altra in traverso sino al numero
de i punti tagliati dal raggio, che qui  58, e considera quanto  questo
spazio misurato rettamente, e lo troverai esser prossimamente 116, il che
salva in mente: piglia poi rettamente il detto numero 58, che fu de i punti
tagliati dal raggio, ed apri lo Strumento sin che questa distanza s'aggiusti
in traverso tra il punto del 100 e quello del 116, che salvasti in mente; e
non movendo pi lo Strumento, prendi col compasso la distanza trasversale tra
li due numeri de i passi, cio 230 e 104; e questa misurata rettamente, ti
dar infine punti 150, quanta  veramente la distanza AB.

Queste sole regole per misurar con la vista ho giudicato, discreto lettore,
bastar per ora aver descritte; non che secondo queste sole si possa col
presente Strumento operare, essendocene moltissime altre, ma per non mi
diffondere in lunghi discorsi senza necessit, essendo sicuro che qualunque di
mediocre ingegno aver comprese le gi dichiarate, potr per se stesso
ritrovarne altre, accomodate ad ogni caso particolare che occorrer gli
potesse.
Ma non solamente avrei potuto diffondermi pi assai nelle regole del misurar
con la vista, ma molto e molto pi ampliarmi nel mostrare la resoluzione,
posso dire, d'infiniti altri problemi di geometria e di aritmetica, i quali
con le altre linee del nostro Strumento risolver si possono; poich, e quanti
ne sono tra gli Elementi di Euclide, ed in molti altri autori, vengono da me
con brevissime e facilissime maniere risoluti. Ma, come da principio si 
detto, la mia presente intenzione  stata di parlar con persone militari
solamente, e di pochissime altre cose fuori di quelle che a simili professori
appartengono, riservandomi in altra occasione a publicare, insieme con la
fabrica dello Strumento, una pi ampla descrizione de' suoi usi.
FINE.
